[论文解读] Notes on Derivation of 'Generalized Gravitational Entropy'

D. V. Fursaev|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2014

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新的推导方法，用于在不依赖锥形奇点的前提下，推导共维数为2的纠缠表面的广义引力熵，采用类似哈密顿量的边界项方法。结果表明，熵泛函在纠缠表面上取极值，并重现了洛韦洛克引力的熵公式，通过替代方法验证了与先前结果的一致性。

ABSTRACT

An alternative derivation of generalized gravitational entropy associated to co-dimension 2 'entangling' hypersurfaces is given. The approach is similar to the Jacobson-Myers 'Hamiltonian' method and it does not require computations on manifolds with conical singularities. It is demonstrated that the entangling surfaces should be extrema of the entropy functional. When our approach is applied to Lovelock theories of gravity the generalized entropy formula coincides with results derived by other methods.

研究动机与目标

• 提供一种避免在计算中依赖锥形奇点的广义引力熵的替代推导方法。
• 确立纠缠表面必须是熵泛函的极值点。
• 验证所推导的熵公式与洛韦洛克引力理论中已知结果的一致性。
• 将雅各布森-迈尔斯哈密顿量方法推广至高阶导数引力作用量。

提出的方法

• 该方法聚焦于纠缠表面附近的一个小邻域，并从引力作用量中提取边界项。
• 采用复制技巧，使用 $ n $ 重复制的流形 $ \mathcal{M}_n $，其中 $ \mathcal{T}_n $ 具有 $ 2\pi n $-周期的 $ \tau $-坐标。
• 熵通过极限 $ \lim_{n\to1} (n\partial_n - 1) I[\bar{\mathcal{M}}_n] $ 推导得出，避免了直接使用锥形奇点。
• 在 $ \epsilon \to 0 $ 的极限下评估边界项，其中 $ \epsilon $ 是靠近纠缠表面 $ \mathcal{B} $ 的径向截断。
• 使用复法向量及外曲率 $ k_{ij}, \bar{k}_{ij} $ 将黎曼张量投影到 $ \mathcal{B} $ 上。
• 最终的熵公式由积分边界项导出，其在 $ \mathcal{B} $ 上呈现洛韦洛克型结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义引力熵是否可以不依赖作用量中的锥形奇点而被推导出来？
• RQ2 在该新推导中，纠缠表面 $ \mathcal{B} $ 是否为熵泛函的极值点？
• RQ3 在高阶导数引力（洛韦洛克）中，所推导的熵公式是否与其它方法得到的结果一致？
• RQ4 雅各布森-迈尔斯哈密顿量方法能否推广至非爱因斯坦引力中的广义熵？
• RQ5 在何种条件下，熵泛函对任意高阶导数引力理论仍保持极值性？

主要发现

• 广义引力熵通过复制几何中的作用量边界项被推导出来，且无需依赖锥形奇点。
• 结果表明纠缠表面 $ \mathcal{B} $ 是熵泛函的极值点，这是关键的一致性条件。
• 对于洛韦洛克引力，所推导的熵公式与已知结果一致：$ S = 4\pi \sum_m m c_m \hat{I}_m[\mathcal{B}] $，其中 $ \hat{I}_m[\mathcal{B}] $ 是 $ \mathcal{B} $ 上的洛韦洛克型不变量。
• 边界项的评估导出了一个精确表达式，涉及 $ k_{ij} $ 和 $ \bar{k}_{ij} $ 曲率以及 $ \mathcal{B} $ 的内蕴黎曼张量。
• 该方法确认了当 $ \mathcal{B} $ 为全息纠缠表面时，熵公式与反 de Sitter 引力中的全息纠缠熵一致。
• 该推导仅在纠缠表面使熵泛函取极值时才自洽，而这一条件在所有高阶导数引力中并非总是成立。