[论文解读] Notes on enriched categories with colimits of some class

G. M. Kelly, Vincent Schmitt|ArXiv.org|Jan 22, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 27

一句话总结

本文通过加权极限与余极限研究了特定类别的余极限的丰富范畴，引入了权重类 $Φ^+$ 和 $Φ^-$，其余极限或极限与 $Φ$-加权极限可交换。证明了这些类是饱和的，并建立了 $\mathcal{P}^{-}({\mathcal{B}}^{op})^{op}$ 中的小投影对象与 $\mathcal{P}^{-}\mathcal{B}$ 之间的等价性，推广了 Isbell 对偶性，并丰富了丰富范畴论中柯西完备化的理论。

ABSTRACT

Given a class Phi of weights, we study the following classes: Phi^+ of Phi-flat weights which are the psi for which psi-colimits commute in the base V with limits with weights in Phi; and Phi^-, dually defined, of weights psi for which psi-limits commute in the base V with colimits with weights in Phi. We show that both these classes are saturated (i.e. closed under the terminology of Albert-Kelly or Betti's coverings). We prove that for the class P of all weights P^+ = P^-. For any small B, we defined an enriched adjunction a` la Isbell [B,V]^op -> [B^op,V] and show how it restricts to an equivalence (P^-(B^op))^op ~ P^-(B) between subcategories of small projectives.

研究动机与目标

• 通过关注权重类而非有限性或过滤性，推广在丰富范畴中可及性与余极限性质的结果。
• 研究基范畴 $\mathcal{V}$ 中加权余极限与极限的可交换性，特别是针对类 $\Phi^+$ 和 $\Phi^-$。
• 通过丰富 Isbell 伴随关系，在 $\mathcal{P}^{-}(\mathcal{B})$ 和 $\mathcal{P}^{-}({\mathcal{B}}^{op})^{op}$ 之间建立小投影对象的对偶性。
• 明确 $\mathcal{P}^{-}$ 作为小投影对象类、$\mathcal{P}^+$ 作为 $\mathcal{P}$-平坦权重类的角色。

提出的方法

• 引入 $\Phi^+$ 作为 $\Phi$-平坦权重类，其中 $\psi$-余极限在 $\mathcal{V}$ 中与 $\Phi$-加权极限可交换，$\Phi^-$ 为对偶情形。
• 利用丰富 Yoneda 嵌入 $Y: \mathcal{B} \to [\mathcal{B}^{op}, \mathcal{V}]$ 构造 $\mathcal{B}$ 的自由余完备化。
• 应用 Isbell 伴随关系 $[\mathcal{B}^{op}, \mathcal{V}]^{op} \rightleftarrows [\mathcal{B}, \mathcal{V}]$，关联 $\mathcal{P}^{-}(\mathcal{B})$ 与 $\mathcal{P}^{-}({\mathcal{B}}^{op})^{op}$。
• 通过 $\varphi = [\mathcal{B}^{op}, \mathcal{V}](\psi, Y-)$ 表示 $-*\varphi$ 的表示性，表征 $\psi \in \mathcal{Q}(\mathcal{B})$ 为小投影对象。
• 利用公式 $\psi * y = [\mathcal{B}^{op}, \mathcal{V}](\psi, Y-)$，将 $[\mathcal{B}^{op}, \mathcal{V}]$ 中的余极限与 $\mathcal{V}$ 中的逐点极限联系起来。
• 证明 $\tilde{y}(\varphi) = \psi$，其中 $\psi(b) = [\mathcal{B}, \mathcal{V}](\varphi, Y'b)$，将 Isbell 伴随关系与对偶性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在基范畴 $\mathcal{V}$ 中，$\psi$-余极限在何种条件下与 $\Phi$-加权极限可交换？此类权重如何表征？
• RQ2 $\Phi^+$ 与 $\Phi^-$ 之间的关系是什么？它们在极限与余极限下是否饱和？
• RQ3 Isbell 伴随关系如何限制为 $\mathcal{P}^{-}({\mathcal{B}}^{op})^{op}$ 与 $\mathcal{P}^{-}(\mathcal{B})$ 之间的等价性？
• RQ4 通过 Isbell 对偶性，$[\mathcal{B}^{op}, \mathcal{V}]$ 中小投影对象的精确表征是什么？

主要发现

• 类 $\Phi^+$ 和 $\Phi^-$ 是饱和的，意味着它们在适当意义下对极限与余极限封闭。
• 对于所有权重类 $\mathcal{P}$，有 $\mathcal{P}^+ = \mathcal{P}^-$，表明 $\mathcal{P}$-平坦权重与小投影对象一致。
• Isbell 伴随关系限制为等价关系 $({\mathcal{P}^{-}({\mathcal{B}}^{op})})^{op} \cong \mathcal{P}^{-}(\mathcal{B})$，在对偶范畴的小投影对象之间提供对偶性。
• 权重 $\psi$ 属于 $\mathcal{Q}(\mathcal{B})$（小投影对象类）当且仅当函子 $-*\varphi: [\mathcal{B}^{op}, \mathcal{V}] \to \mathcal{V}$ 是表示的，其中 $\varphi = [\mathcal{B}^{op}, \mathcal{V}](\psi, Y-)$。
• 公式 $\psi * y = [\mathcal{B}^{op}, \mathcal{V}](\psi, Y-)$ 成立，将自由余完备化中的余极限与 $\mathcal{V}$ 中的逐点极限联系起来。
• Isbell 伴随关系满足 $\hat{Y}^{op} \dashv (Y'^{op})^\sim$，并利用此对偶性表征表示性与投影性。