[论文解读] Notes on error estimates for Galerkin approximations of the 'classical' Boussinesq system and related hyperbolic problems

Dimitrios Antonopoulos, Vassilios A. Dougalis|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2010

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 21被引用 10

一句话总结

本文为经典一维Boussinesq系统及其具有色散或黏性正则化的相关双曲问题的Galerkin-有限元逼近建立了严格的误差估计。通过使用显式Runge-Kutta时间积分的半隐式和全隐式格式，作者证明了最优收敛速率：在均匀网格下，解分量的$L^2$误差为$O(h^2)$；在拟均匀网格下，$\eta$的误差为$O(h^{3/2})$，$u$的误差为$O(h^2)$，并通过数值实验验证了收敛阶的一致性。

ABSTRACT

We consider the `classical' Boussinesq system in one space dimension and its symmetric analog. These systems model two-way propagation of nonlinear, dispersive long waves of small amplitude on the surface of an ideal fluid in a uniform horizontal channel. We discretize an initial-boundary-value problem for these systems in space using Galerkin-finite element methods and prove error estimates for the resulting semidiscrete problems and also for their fully discrete analogs effected by explicit Runge-Kutta time-stepping procedures. The theoretical orders of convergence obtained are consistent with the results of numerical experiments that are also presented.

研究动机与目标

• 为具有速度齐次Dirichlet边界条件的一维经典Boussinesq系统的半隐式和全隐式Galerkin逼近建立先验误差估计。
• 分析Galerkin-有限元方法与显式Runge-Kutta时间推进相结合在Boussinesq系统及其具有色散或黏性正则化的相关双曲系统中的收敛行为。
• 通过在均匀和拟均匀空间网格上的数值实验验证理论收敛速率。
• 证明该系统仅需两个边界条件（速度边界条件）即可保证适定性，而不同于其他Boussinesq系统所需四个边界条件。

提出的方法

• 在区间$[0,1]$上使用连续分段线性函数进行空间离散化，采用Galerkin-有限元方法。
• 采用显式Runge-Kutta格式进行时间离散化，时间步长取$k = h$和$k = \Delta x$，以进行稳定性和收敛性分析。
• 利用基于$L^2$-Sobolev范数和弱形式的推导，建立半隐式问题的能量估计与稳定性界。
• 应用$L^2$投影与插值误差估计，以控制空间逼近误差。
• 采用抛物型正则化技术，建立初边值问题弱解的存在性与唯一性。
• 通过使用制造精确解的全隐式格式进行数值验证，确认理论收敛阶。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有速度齐次Dirichlet边界条件的经典Boussinesq系统的Galerkin-有限元逼近的最优收敛速率是什么？
• RQ2 在存在色散或黏性正则化的情况下，均匀与拟均匀空间网格下的收敛速率有何差异？
• RQ3 该误差估计框架是否可推广至包含$u_{xxt}$或$u_{xx}$项的相关双曲系统？
• RQ4 通过显式Runge-Kutta格式进行时间离散化对全隐式格式整体收敛阶有何影响？
• RQ5 理论误差界与实际模拟中的数值结果相比如何？

主要发现

• 表面高程$\eta$的$L^2$误差在均匀网格下收敛阶为$O(h^2)$，在拟均匀网格下为$O(h^{3/2})$。
• 速度$u$在均匀与拟均匀网格下均以$O(h^2)$收敛，与理论预测一致。
• 数值实验确认了理论收敛阶：在均匀网格下，$\eta$和$u$的收敛阶均为$O(h^2)$；在拟均匀网格下，$\eta$的收敛阶为$O(h^{3/2})$。
• 对于黏性双曲系统$\eta_t + u_x = 0$，$u_t + \eta_x - u_{xx} = 0$，$\eta$的$L^2$误差在拟均匀网格下为$O(\Delta x)$，在均匀网格下为$O(h^{3/2})$，而$u$的收敛阶为$O(h^2)$。
• 黏性系统的收敛速率与线性色散情形一致，证实了分析框架的鲁棒性。
• 数值结果强烈支持理论误差估计，所有测试案例中观测到的收敛阶均与预测速率高度吻合。