[论文解读] Notes on factor-criticality, extendibility and independence number

Zan‐Bo Zhang, Dingjun Lou+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文建立了当 $k = \nu/4$ 时，$k$-可扩展图为 $2k$-因子临界图的充分必要条件，解决了先前研究中的一个空白。此外，本文证明了 $n$-因子临界图与 $k\frac{1}{2}$-可扩展图的独立数的精确上界，并在度数和结构约束下，确立了 $k$-可扩展性、$2k$-因子临界性与独立数 $\leq \nu/2 - k$ 之间的等价性。

ABSTRACT

In this paper, we give a sufficient and necessary condition for a $k$-extendable graph to be $2k$-factor-critical when $k=ν/4$, and prove some results on independence numbers in $n$-factor-critical graphs and $k\frac{1}{2}$-extendable graphs.

研究动机与目标

• 填补先前工作中关于当 $k = \nu/4$ 时 $k$-可扩展图是否为 $2k$-因子临界图的表征空白。
• 为 $n$-因子临界图与 $k\frac{1}{2}$-可扩展图建立独立数 $\alpha(G)$ 的精确上界。
• 确定 $k$-可扩展性、$2k$-因子临界性与独立数约束等价的确切条件。
• 识别出 $k$-可扩展性不蕴含 $2k$-因子临界性的例外情况，并对其进行精确刻画。

提出的方法

• 利用 Gallai-Edmonds 结构定理分析集合 $D(G)$、$A(G)$ 与 $C(G)$，这些集合根据顶点在最大匹配中的作用进行分类。
• 应用通过条件 $o(G-S) \leq |S| - n$ 对 $n$-因子临界图进行表征，其中对所有满足 $|S| \geq n$ 的 $S \subseteq V(G)$ 成立。
• 通过引理 1.8 利用 $k\frac{1}{2}$-可扩展性与 $G \vee K_1$ 的 $(k+1)$-可扩展性之间的等价性。
• 使用极值构造（例如 $K_{(\nu+n)/2} \vee ((\nu-n)/2)K_1$）来验证独立数上界的精确性。
• 分析 $\nu = 4k$ 时 $k$-可扩展图的顶点度约束与连通分量结构，以推导出 $2k$-因子临界性的必要与充分条件。
• 对满足 $o(G-S) > |S| - n$ 的顶点集 $S$ 的大小进行分类讨论，以证明非 $n$-因子临界性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $k = \nu/4$ 时，$k$-可扩展图为 $2k$-因子临界图的必要与充分条件是什么？
• RQ2 独立数 $\alpha(G)$ 与最小度 $\delta(G)$ 如何约束图的 $n$-因子临界性？
• RQ3 在何种条件下，$k$-可扩展性、$2k$-因子临界性与 $\alpha(G) \leq \nu/2 - k$ 三者等价？
• RQ4 $G_0 \vee (G_1 \cup G_2)$ 的并接构造在刻画非 $n$-因子临界图中起什么作用？
• RQ5 对于 $n$-因子临界图，独立数上界 $\alpha(G) \leq (\nu - n)/2$ 是否精确？在何种条件下取等？

主要发现

• 当 $k = \nu/4$ 时，$k$-可扩展图为 $2k$-因子临界图当且仅当 $\delta(G) \geq 3k$，或当 $\delta(G) = 2k$ 时，该图不是 $2k$-因子临界图。
• 当 $2k+1 \leq \delta(G) \leq 3k-1$ 时，图不是 $2k$-因子临界图当且仅当 $V(G)$ 可划分为两个大小为 $2k$ 的集合，每个集合所诱导的子图由两个因子临界分量组成。
• $n$-因子临界图的独立数满足 $\alpha(G) \leq (\nu - n)/2$，且该上界是精确的，当且仅当图形如 $K_{(\nu+n)/2} \vee ((\nu-n)/2)K_1$ 时取等。
• 对于 $k\frac{1}{2}$-可扩展图，有 $\alpha(G) \leq (\nu - 1)/2 - k$，且该上界是精确的，当且仅当 $G = ((\nu-1)/2 - k)K_1 \vee K_{(\nu+1)/2 + k}$ 时取等。
• 图 $G$ 是 $n$-因子临界图当且仅当 $\alpha(G) \leq (\nu - n)/2$ 且 $\delta(G) \geq (\nu + n)/2 - 1$，前提是 $G$ 不是形如 $G_0 \vee (G_1 \cup G_2)$ 的图，其中 $G_1 = G_2 = K_{(\nu-n)/2}$ 且 $(\nu - n)/2$ 为奇数。
• 当 $\nu/4 \leq k \leq \nu/2 - 1$ 且 $\delta(G) \geq \nu/2 + k - 1$ 时，$k$-可扩展性、$2k$-因子临界性与 $\alpha(G) \leq \nu/2 - k$ 三者等价，例外情况为当 $k = \nu/4$ 为奇数时的图 $G = (K_k \cup K_k) \vee (K_k \cup K_k)$。