[论文解读] Notes on linearly H-closed spaces and od-selection principles

Mathieu Baillif|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文研究线性 H-闭空间——即每个链覆盖都包含一个稠密成员的拓扑空间——并将其定位在弱紧致性与 H-闭性之间。研究发现，虽然正则 H-闭空间是紧致的，但在各类空间中（包括可集族正规和弗雷歇-乌瑞森空间）存在非紧致的线性 H-闭空间，且在附加局部条件下，PFA 排除了第一可数正规线性 H-闭非紧致空间的存在。

ABSTRACT

A space is called linearly H-closed iff any chain cover possesses a dense member. This property lies strictly between feeble compactness and H-closedness. While regular H-closed spaces are compact, there are linearly H-closed spaces which are even collectionwise normal and Fréchet-Urysohn. We give examples in other classes, and ask whether there is a first countable normal linearly H-closed non-compact space in ZFC. We show that PFA implies a negative answer if the space is moreover either locally separable or locally compact and locally ccc. Ostaszewski space (built with $\diamondsuit$) is an example which is even perfectly normal. We also investigate Menger-like properties for the class of od-covers, that is, covers whose members are open and dense.

研究动机与目标

• 定义并研究线性 H-闭空间这一新的拓扑性质，该性质严格介于弱紧致性与 H-闭性之间。
• 在 ZFC 中确定是否存在第一可数正规线性 H-闭非紧致空间，这是一个长期悬而未决的公开问题。
• 研究 od-覆盖（其成员为开且稠密的覆盖）的 Menger 类似选择原则，特别是其与 Δ-覆盖和 Δ-选择性质的关系。
• 厘清 Δ-选择原则与经典选择性质（如 Δ-Δ 和 Δ-𝒪）之间的关系。
• 考察可分性及局部性质（如局部可分、局部紧致、局部 ccc）在力迫公理下对这类空间存在性的约束作用。

提出的方法

• 通过链覆盖引入线性 H-闭空间：一个空间是线性 H-闭的当且仅当每个链覆盖都包含一个稠密成员，或存在一个有限子族使得其并集稠密。
• 应用滤子基刻画：一个空间是线性 H-闭的当且仅当每个链滤子基（线性有序的开滤子基）都有一个凝聚点。
• 使用力迫公理（PFA）推导一致性结果：在 PFA 下，若空间是局部可分，或同时是局部紧致与局部 ccc 的，则不存在第一可数正规线性 H-闭非紧致空间。
• 分析 od-覆盖（开稠密覆盖）并引入选择原则 Δ-Δ、Δ-𝒪 和 Δ-𝒪，以研究 Menger 类似性质。
• 采用拓扑构造，如蒂索诺夫板（Tychonoff plank）和奥斯塔谢夫斯基空间（使用 ♢ 构造），作为非紧致线性 H-闭空间的示例。
• 应用选择原则的结果：在可分空间中，Δ-𝒪 等价于 𝒪-𝒪；一个闭无处稠密集合满足 Δ-𝒪 当且仅当其满足 𝒪-𝒪。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ZFC 中是否存在一个第一可数正规线性 H-闭非紧致空间？
• RQ2 若空间是局部可分，或同时是局部紧致与局部 ccc 的，PFA 是否允许第一可数正规线性 H-闭非紧致空间存在？
• RQ3 在可分空间中，Δ-𝒪 与 𝒪-𝒪 选择原则之间有何关系？
• RQ4 od-紧空间是否满足 Δ-𝒪？非 od-紧的 Lindelöf 空间能否满足 Δ-𝒪 但不满足 𝒪-𝒪？
• RQ5 一个空间的 Δ-𝒪 性质是否等价于其非孤立点部分的 Δ-𝒪 性质？

主要发现

• 线性 H-闭空间严格介于弱紧致性与 H-闭性之间，且在可集族正规和弗雷歇-乌瑞森等类别中存在非紧致例子。
• 蒂索诺夫板是非紧致线性 H-闭蒂索诺夫空间的标准例子。
• 一个奥斯塔谢夫斯基空间（使用 ♢ 构造）是完美正规、第一可数、非紧致的线性 H-闭空间。
• 在 PFA 下，若空间是局部可分，或同时是局部紧致与局部 ccc 的，则不存在第一可数正规线性 H-闭非紧致空间。
• 在可分空间中，Δ-𝒪 等价于 𝒪-𝒪，且一个空间满足 Δ-𝒪 当且仅当其所有闭无处稠密集合都满足 𝒪-𝒪。
• 存在满足 Δ-𝒪 的非紧致豪斯多夫空间，但若一个正则空间满足 Δ-𝒪，则其必同时满足 𝒪-𝒪。