[论文解读] Notes on Propagation of 3D Buoyant Fluid-Driven Cracks

Dmitry Garagash, L. N. Germanovich|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2022

Hydraulic Fracturing and Reservoir Analysis被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于浮力驱动裂隙（岩脉）的三维力学模型，该模型通过韧性主导的静水压力头自洽地确定裂隙宽度，而粘性尾部则控制传播动力学。关键贡献在于建立了一个闭式解，将岩脉宽度与岩石韧性及浮力关联起来，从而可精确预测有限流体体积下的三维岩脉几何形态与传播行为。

ABSTRACT

Magma-driven fractures are the main mechanism for magma emplacement in the crust. A fundamental question is how the released fluid controls the propagation dynamics and fracture geometry (depth and breadth) in three dimensions. Analog experiments in gelatin have shown that fracture breadth remains nearly stationary when the process in the fracture head (where breadth is controlled) is dominated by solid toughness, whereas viscous fluid dissipation is dominant in the fracture tail. We model propagation of the resulting buoyant, finger-like fracture of stationary breadth with a slowly varying opening along the crack length. The elastic response to fluid loading in a horizontal cross-section is local and can be treated similarly to the classical Perkins-Kern-Nordgren (PKN) model of hydraulic fracturing. The propagation condition for a finger-like crack is based on balancing the global energy release rate due to a unit crack extension with the rock fracture toughness. It allows us to relate the net fluid pressure at the tip to the fracture breadth and rock toughness. Unlike laterally propagating PKN fracture, where breadth is known a priori, the final breadth of a finger-like vertically ascending fracture is a result of processes in the fracture head. Because the head is much more open than the tail, viscous pressure drop in the head can be neglected leading to a 3D analog of Weertman hydrostatic pulse. This requires relaxing the local elasticity assumption of the PKN model in the fracture head. As a result, we resolve the breadth, and then match the viscosity-dominated tail with the three dimensions, toughness-dominated head to obtain a complete closed-form solution. We then analyze the buoyancy-driven fracture propagation in conditions of either continuous injection or finite volume release for sets of parameters representative of low viscosity magma diking.

研究动机与目标

• 解决浮力驱动、流体驱动裂隙的三维几何形态问题，其中裂隙宽度并非预设，而是由断裂力学决定。
• 模拟三维岩脉中从韧性主导的静水头部向粘性主导的传播尾部的过渡过程。
• 提供一种闭式解，用于岩脉宽度与传播动力学，同时考虑有限体积的流体注入。
• 通过使用凝胶岩脉在恒定注入或固定体积释放条件下的三维实验室实验，对模型进行验证。
• 证明在固定体积条件下，岩脉传播速度减慢但不会停止，除非头部吸收全部流体。

提出的方法

• 构建一个三维模型，用于描述具有可变宽度和长度的浮力驱动裂隙，其受弹性、流体压力和断裂韧性控制。
• 采用类似PKN的近似方法处理粘性尾部，假设宽度恒定且弹性相互作用可忽略。
• 为裂隙头部开发Weertman静水脉冲的三维类比，通过全局能量平衡求解静止宽度。
• 将韧性主导的头部解与粘性主导的尾部解匹配，形成完整且自洽的三维岩脉解。
• 利用渐近分析推导头部（静水、大开口）和尾部（薄层、粘性流主导）区域的显式解。
• 通过将理论预测的岩脉宽度与开口分布与凝胶岩脉实验数据对比，验证模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 三维浮力岩脉在传播过程中，其裂隙宽度如何自组织形成，其最终值由什么控制？
• RQ2 静水头部在决定指状岩脉的最终宽度中起什么作用？与二维平面应变模型有何不同？
• RQ3 当流体体积有限时，粘性尾部如何控制岩脉传播动力学？
• RQ4 若基于三维头部解输入，二维PKN模型在多大程度上可近似三维岩脉行为？
• RQ5 在何种条件下岩脉会停止传播？头部与尾部之间的流体体积分配如何影响传播？

主要发现

• 三维浮力岩脉的裂隙宽度由韧性主导的静水头部决定，存在闭式解：$ b_* = 0.396 (\bar{K}/\rho g)^{2/3} $。
• 三维静水头部解是Weertman二维脉冲的三维类比，其归一化体积为0.515，与二维情况非常接近。
• 粘性尾部解的尺度为$ \tilde{\rho} \tilde{t}^{1/3} $，当流体体积超过头部容量时，岩脉长度缓慢增长。
• 在固定体积注入条件下，岩脉传播速度减慢但不会停止，除非全部流体被头部消耗，从而阻止尾部形成。
• 若将三维推导的宽度$ b_* $作为输入，二维PKN模型可良好近似三维行为。
• 实验测得的凝胶岩脉与理论宽度预测吻合良好，但靠近水箱壁面的边界效应可能降低精度。