[论文解读] Notes on regularity properties of infinite-dimensional Lie groups

Helge Glöckner|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2012

Geometry and complex manifolds被引用 4

一句话总结

本文建立了在局部凸空间上构造的无限维李群的 C^k-正则性的充分条件，证明了 C^0-半正则性结合到 C^0-正则李群的点分离光滑同态，可推出 C^0-正则性。此外，本文还证明了在 paracompact 有限维流形 M 上的光滑微分同胚群 Diff(M) 是 C^1-正则的，并为证明紧致实解析流形上解析微分同胚群的 C^1-正则性提供了工具。

ABSTRACT

Let G be a Lie group modelled on a locally convex space, with Lie algebra g, and k be a non-negative integer or infinity. We say that G is C^k-semiregular if each C^k-curve c in g admits a left evolution Evol(c) in G. If, moreover, the map taking c to evol(c):=Evol(c)(1) is smooth, then G is called C^k-regular. For G a C^k-semiregular Lie group and m an order of differentiability, we show that evol is C^m if and only if Evol is C^m. If evol is continuous at 0, then evol is continuous. If G is a C^0-semiregular Lie group, then continuity of evol implies its smoothness (so that G will be C^0-regular), if smooth homomorphisms from G to C^0-regular Lie groups separate points on G and g is (e.g.) sequentially complete. Further criteria for regularity properties are provided, and used to prove regularity for several important classes of Lie groups. Notably, we find that the Lie group Diff(M) of smooth diffeomorphisms of a paracompact finite-dimensional smooth manifold M (which need not be sigma-compact) is C^1-regular. We also provide tools which enable to show that the Lie group of analytic diffeomorphisms of a compact real analytic manifold is C^1-regular.

研究动机与目标

• 澄清无限维李群中 C^k-半正则性与 C^k-正则性之间的关系。
• 建立 C^0-半正则李群成为 C^0-正则的充分条件。
• 证明重要类李群（包括有限维流形上微分同胚群）的正则性。
• 为验证解析微分同胚群的正则性提供工具。

提出的方法

• 通过 Lie 代数中 C^k-曲线的左演化存在性，引入 C^k-半正则性的概念。
• 将 C^k-正则性定义为求值映射 evol(c) := Evol(c)(1) 的光滑性。
• 证明：对于 C^k-半正则群，evol 是 C^m 当且仅当 Evol 是 C^m。
• 利用 evol 在 0 处的连续性，在附加结构假设下推导出其光滑性。
• 应用涉及映射到 C^0-正则群的点分离光滑同态的准则，推导出正则性。
• 将该框架应用于证明 paracompact 有限维流形 M 上的 Diff(M) 的 C^1-正则性，以及紧致实解析流形上解析微分同胚群的 C^1-正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无限维李群中，C^0-半正则性在何种条件下可推出 C^0-正则性？
• RQ2 在 C^k-半正则李群中，Evol 与 evol 的可微性之间存在何种精确关系？
• RQ3 能否利用半正则性证明非 σ-紧致 paracompact 流形上 Diff(M) 的正则性？
• RQ4 何种结构条件可确保 evol 的连续性推出其光滑性？
• RQ5 如何验证解析微分同胚群的 C^1-正则性？

主要发现

• C^k-半正则李群满足：evol 是 C^m 当且仅当 Evol 是 C^m。
• 若 evol 在 0 处连续，则 evol 连续。
• 对于 C^0-半正则李群，若光滑同态到 C^0-正则群能分离点，且 Lie 代数是序列完备的，则 evol 的连续性可推出其光滑性。
• paracompact 有限维光滑流形 M 的微分同胚群 Diff(M) 是 C^1-正则的。
• 紧致实解析流形的解析微分同胚群是 C^1-正则的。
• 本文提供了通用准则，可验证重要类李群的 C^1-正则性。