[论文解读] Notes on Simple Modules over Leavitt Path Algebras

Kulumani M. Rangaswamy|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文通过任意有向图 $E$ 中的无限发射顶点，引入了莱维特路径代数 $L_K(E)$ 上的一类新的简单左模，构造了其消去的本原理想，并通过幂等元的布尔子环给出了非同构简单模数量的上下界。一个关键结果是：若 $L_K(E)$ 是可数维且单的，则其简单模的同构类要么恰好为一个，要么至少为 $2^{ aleph_0}$ 个。

ABSTRACT

Given an arbitrary graph E and any field K, a new class of simple left modules over the Leavitt path algebra L of the graph E over K is constructed by using vertices that emit infinitely many edges. The corresponding annihilating primitive ideals are described and is used to show that these new class of simple L-modules are different from(that is non-isomorphic to) any of the previously known simple modules. Using a Boolean subring of idempotents induced by paths in E, bounds for the cardinality of the set of distinct isomorphism classes of simple L-modules are given. We also append other information about the Leavitt path algebra L(E) of a finite graph E over which every simple left module is finitely presented.

研究动机与目标

• 通过图 $E$ 中发射无穷多条边的顶点，构造 $L_K(E)$ 上的一类新的简单左 $L_K(E)$-模。
• 描述这些新简单模的消去本原理想，并证明它们与先前已知类别的模不互相同构。
• 利用交换幂等元的布尔子环，建立 $L_K(E)$-模的非同构简单模集合的基数的上下界。
• 改进并简化关于所有简单模均为有限表示的莱维特路径代数的结果，特别是针对有限图的情形。

提出的方法

• 通过在以无限发射顶点为起点的路径生成的向量空间上定义作用，构造新的简单 $L_K(E)$-模。
• 利用图的结构以及 $L_K(E)$ 中的 CK-1 和 CK-2 关系，一致地定义模的作用。
• 应用罗伯特森方法，通过 $L_K(E)$ 的基数来界定每个同构类的大小。
• 利用 $L_K(E)$ 中由路径生成的交换幂等元的布尔子环，推导出非同构简单模数量的下界。
• 改编 [6] 和 [12] 的技术，分析当每个简单模均为有限表示时 $L_K(E)$ 的结构。
• 通过遗传饱和子集 $H_n$ 的归纳法，构建一组分次理想 $I_n$，并分析商代数 $L/I_n$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用图 $E$ 中的无限发射顶点构造 $L_K(E)$ 上的新类简单模？
• RQ2 这些新简单模的消去本原理想是否与先前已知简单模的本原理想不同？
• RQ3 非同构简单 $L_K(E)$-模的数量的上下界是什么？它们如何依赖于图的结构？
• RQ4 在何种条件下，每个简单 $L_K(E)$-模均为有限表示？此时 $L_K(E)$ 具有哪些结构性质？

主要发现

• 通过无限发射顶点构造了一类新的简单左 $L_K(E)$-模，并明确描述了其消去的本原理想。
• 这些新简单模与 [10]、[12] 或 [14] 中构造的任何简单模均不互相同构，从而确立了其新颖性。
• 通过罗伯特森方法证明，任何单个同构类的简单 $L_K(E)$-模的基数至多为 $|L_K(E)|$。
• 通过 $L_K(E)$ 中交换幂等元的布尔子环，推导出非同构简单模数量的下界。
• 若 $L_K(E)$ 是可数维且单的代数，则其简单模的同构类要么恰好为一个，要么至少为 $2^{\aleph_0}$ 个。
• 对于有限图 $E$，若每个简单 $L_K(E)$-模均为有限表示，则 $L_K(E)$ 存在一组分次理想 $I_n$，使得商代数同构于 $K$ 或 $K[x,x^{-1}]$ 上的矩阵代数，且每个极大左理想均为循环的。