[论文解读] Notes on the historical bibliography of the gamma function

Ricardo Pérez-Marco|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2020

Analytic Number Theory Research参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文对伽马函数的历史进行了详尽的更正，并提供了其文献综述，将基础性成果追溯至传统上未被充分承认的更早来源。文章将关键公式——如哈达玛乘积、曼斯滕公式和高斯乘法公式——重新归因于欧拉、比内和施勒米希，挑战了传统的归属认定，并为特殊函数与数学分析领域的研究人员提供了全面且带注释的参考书目。

ABSTRACT

Telegraphic notes on the historical bibliography of the Gamma function and Eulerian integrals. Correction to some classical references. Some topics of the interest of the author. We provide some extensive (but not exhaustive) bibliography. Feedback is welcome, notes will be updated and some references need completion.

研究动机与目标

• 纠正伽马函数及其相关特殊函数历史文献中长期存在的误 attribution 问题。
• 提供关于伽马函数基础性著作的全面、带注释的参考书目，强调原始文献并修正经典参考文献中的错误。
• 通过追溯至欧拉、比内等人的早期著作，澄清关键公式（如魏尔斯特拉斯乘积、曼斯滕公式和拉普拉斯积分）的起源。
• 更新并完善伽马函数发展历程的学术记录，尤其关注函数方程、积分表示和乘积公式方面。
• 通过邀请反馈与未来更新，使本文成为研究人员的动态参考文献，确保伽马函数历史记录的准确性。

提出的方法

• 对数学分析领域经典参考文献（特别是惠塔克-沃森、诺尔伦德和雷默特的著作）进行批判性重新审视。
• 使用原始文献——欧拉（1770, 1785, 1789）、比内（1839）、施勒米希（1843）、曼斯滕（1846）等——将此前归于后期作者的公式重新归因。
• 分析伽马函数的功能定义与积分定义，比较欧拉的原始积分形式与现代形式及魏尔斯特拉斯的乘积表示。
• 应用特征定理（如博尔-莫勒鲁普定理、维尔兰德定理、普里姆定理）以澄清唯一性条件与函数性质。
• 研究魏尔斯特拉斯因子阶函数与布尔热函数在伽马函数理论中的作用，将其与差分方程和整函数联系起来。
• 回顾级数展开（斯特林、曼斯滕、赫尔米特）与插值方法（哈达玛对阶乘的插值）的历史发展。

实验结果

研究问题

• RQ1 哈达玛-魏尔斯特拉斯伽马函数乘积公式的真实创始者是谁？为何常被错误地归于魏尔斯特拉斯？
• RQ2 曼斯滕公式、拉普拉斯积分与高斯乘法公式等关键公式在多大程度上早已为欧拉所知？
• RQ3 函数方程与渐近行为如何唯一地刻画伽马函数？此类刻画所需的最小条件是什么？
• RQ4 魏尔斯特拉斯因子阶函数的历史来源是什么？其在伽马函数与巴恩斯函数理论中扮演何种角色？
• RQ5 为何某些公式（如弗鲁拉尼积分与库默尔三角级数展开）常被错误地归于后期数学家？

主要发现

• 欧拉早在1770年便已知晓欧拉-马歇罗尼常数的积分表达式，早于狄利克雷1836年的归因。
• 伽马函数的哈达玛-魏尔斯特拉斯乘积公式最初由施勒米希于1843年推导，而非魏尔斯特拉斯，尽管后者后来使其广为人知。
• 曼斯滕对对数伽马函数的公式早在1839年由比内提出，可能还早于普拉纳，与通常归于曼斯滕（1849年）的认定相反。
• 伽马函数的高斯乘法公式早在欧拉（1740年代）的工作中已出现，而不仅限于高斯1812年的表述。
• 拉普拉斯对伽马函数的积分表示形式由欧拉于1782年确立，而非通常所称的拉普拉斯1812年的成果。
• 库默尔三角级数展开由曼斯滕于1846年发现，早于库默尔1847年的发表，因此早于通常的归因时间。