[论文解读] Notes on the Schwarzian tensor and measured foliations at infinity of quasifuchsian manifolds

Jean‐Marc Schlenker|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用 8

一句话总结

本文建立了关于拟Fuchsian流形的重整化体积的变分公式，该公式以无穷远处测度 foliation 的极端长度表示，与对偶 Bonahon-Schläfli 公式形成类比。文中引入了无穷远处的全纯二次微分，并通过 Poincaré-Einstein 度量和广义度量空间中的极限球面几何，将其结构推广至高维空间，通过无穷远处的第二基本形式将线性 Weingarten 曲面与 Monge-Ampère 方程联系起来。

ABSTRACT

The boundary at infinity of a quasifuchsian hyperbolic manifold is equiped with a holomorphic quadratic differential. Its horizontal measured foliation $f$ can be interpreted as the natural analog of the measured bending lamination on the boundary of the convex core. This analogy leads to a number of questions. We provide a variation formula for the renormalized volume in terms of the extremal length $\ext(f)$ of $f$, and an upper bound on $\ext(f)$. We then describe two extensions of the holomorphic quadratic differential at infinity, both valid in higher dimensions. One is in terms of Poincaré-Einstein metrics, the other (specifically for conformally flat structures) of the second fundamental form of a hypersurface in a "constant curvature" space with a degenerate metric, interpreted as the space of horospheres in hyperbolic space. This clarifies a relation between linear Weingarten surfaces in hyperbolic manifolds and Monge-Ampère equations.

研究动机与目标

• 通过无穷远处测度foliation的极端长度，建立拟Fuchsian流形重整化体积的变分公式。
• 在无穷远处的测度foliation与凸核边界上的测度弯曲 laminations之间建立结构类比。
• 通过Poincaré-Einstein度量和退化度量空间中极限球面的几何，将无穷远处的全holomorphic二次微分推广至高维空间。
• 通过无穷远处的第二基本形式，阐明双曲流形中线性Weingarten曲面与Monge-Ampère方程解之间的关系。

提出的方法

• 推导出涉及无穷远处测度foliation极端长度微分的重整化体积一阶变分公式。
• 应用Fischer-Tromba度量和Gardiner公式，将调和映射能量与测度foliation的极端长度联系起来。
• 利用Schwarzian导数在无穷远处边界上定义全纯二次微分，其水平foliation定义了测度foliation f。
• 通过双曲空间中极限球面的空间引入无穷远处的第二基本形式，将其解释为退化度量空间中的结构。
• 通过形状算子上的代数关系，建立无穷远处第二基本形式与线性Weingarten曲面数据之间的对应关系。
• 通过变换无穷远处的度量与第二基本形式，分析h-tame超曲面的Monge-Ampère方程条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在拟Fuchsian流形中，无穷远处测度foliation的极端长度如何与重整化体积的变化相关？
• RQ2 无穷远处全纯二次微分的高维推广是什么？它与Poincaré-Einstein度量有何关联？
• RQ3 如何利用双曲空间中极限球面的几何来定义无穷远处的第二基本形式，并将其与线性Weingarten曲面联系起来？
• RQ4 无穷远处第二基本形式的哪些代数条件对应于线性Weingarten曲面的Weingarten方程？
• RQ5 在h-tame超曲面的背景下，无穷远处第一与第二基本形式的变换如何导致Monge-Ampère方程的出现？

主要发现

• 重整化体积的变化由 $ \dot{V}_R = -\frac{1}{2}(d\mathrm{ext}(f))( olimits\dot{c}) $ 给出，其中 $ \mathrm{ext}(f) $ 为无穷远处测度foliation的极端长度。
• 重整化体积的变分公式与对偶Bonahon-Schläfli公式极为相似，暗示了凸核边界与无穷远处边界之间存在深刻类比。
• 无穷远处的全纯二次微分通过Poincaré-Einstein度量推广至高维，其几何解释得以保持。
• 无穷远处的第二基本形式通过极限球面空间表征，其变换规则将形状算子 $ B $ 与其无穷远处对应物 $ B^* $ 联系起来。
• 线性Weingarten曲面满足Weingarten方程 $ aK_e + bH + c = 0 $ 当且仅当 $ (a-b+c)\det(B^*) + (c-a)\mathrm{tr}(B^*) + (a+b+c) = 0 $，从而将曲率条件与无穷远处的数据联系起来。
• 对于h-tame超曲面，Monge-Ampère条件等价于 $ \det((a-b+c)B^* + (c-a)E) = b^2 - 4ac $，从而给出了基于无穷远处形状算子的可解性准则。