[论文解读] Notes on the spaces of bilinear multipliers

Óscar Blasco|ArXiv.org|May 26, 2009

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文研究了 $\mathbb{R}^n$ 上双线性乘子算子的结构与有界性性质，重点关注形如 $m(\xi,\eta) = M(\xi - \eta)$ 的乘子，其中 $M$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的函数。文章建立了精确的 $L^p$-有界性条件，证明了在特定指标条件下乘子空间 $\tilde{\mathcal{M}}_{(p_1,p_2,p_3)}(\mathbb{R})$ 为平凡空间，并通过卷积型算子与傅里叶乘子技术，基于插值方法构造了非平凡乘子。

ABSTRACT

A locally integrable function $m(ξ,η)$ defined on $\mathbb R^n imes \mathbb R^n$ is said to be a bilinear multiplier on $\mathbb R^n$ of type $(p_1,p_2, p_3)$ if $$ B_m(f,g)(x)=\int_{\mathbb R^n} \int_{\mathbb R^n}\hat f(ξ)\hat g(η)m(ξ,η)e^{2πi(} dξdη$$ defines a bounded bilinear operator from $L^{p_1}(\mathbb R^n) imes L^{p_2}(\mathbb R^n) $ to $L^{p_3}(\mathbb R^n)$. The study of the basic properties of such spaces is investigated and several methods of constructing examples of bilinear multipliers are provided. The special case where $m(ξ,η)= M(ξ-η)$ for a given $M$ defined on $\mathbb R^n$ is also addressed.

研究动机与目标

• 刻画形如 $m(\xi,\eta) = M(\xi - \eta)$ 的函数 $m(\xi,\eta)$ 的双线性乘子空间 $\mathcal{BM}_{(p_1,p_2,p_3)}(\mathbb{R}^n)$。
• 确定指标 $p_1, p_2, p_3$ 的必要与充分条件，使得 $\tilde{\mathcal{M}}_{(p_1,p_2,p_3)}(\mathbb{R})$ 非平凡。
• 发展利用卷积算子与傅里叶乘子技术构造非平凡双线性乘子的方法。
• 通过插值与对偶性方法，建立与 $M(\xi - \eta)$ 相关的双线性算子的精确 $L^p$-有界性估计。

提出的方法

• 引入乘子空间 $\tilde{\mathcal{M}}_{(p_1,p_2,p_3)}(\mathbb{R})$，即所有满足 $m(\xi,\eta) = M(\xi - \eta)$ 定义类型为 $(p_1,p_2,p_3)$ 的有界双线性乘子的函数 $M$ 的集合。
• 利用表示式 $B_M(f,g)(x) = \int\!\!\!\int \hat{f}(\xi)\hat{g}(\eta) M(\xi - \eta) e^{2\pi i \langle \xi + \eta, x \rangle} d\xi d\eta$，将乘子与双线性卷积算子联系起来。
• 应用双线性算子 $L^p$-有界性理论，通过核 $K$ 满足 $M = \hat{K}$ 的关系，将 $M \in \tilde{\mathcal{M}}_{(p_1,p_2,p_3)}(\mathbb{R})$ 与 $K \in L^q(\mathbb{R})$ 在指标条件下联系起来。
• 采用实插值与对偶性论证，将端点情形的有界性推广至中间 $L^p$ 空间。
• 利用高斯正则化与涉及 $\lambda \int e^{-\lambda^2 \xi^2} M(\xi + 2y) d\xi$ 的逐点估计，证明当满足 $\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_3} > 1$ 或 $< 1$ 时，必有 $M \equiv 0$。
• 应用杨不等式与赫尔德不等式，控制 $T(K,f,g) = \int f(x-t)g(x+t)K(t) dt$ 的 $L^{p_3}$ 范数，其中 $\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_3} = 1 - \frac{1}{q}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哪些指标 $p_1, p_2, p_3$ 下，空间 $\tilde{\mathcal{M}}_{(p_1,p_2,p_3)}(\mathbb{R})$ 非平凡？
• RQ2 双线性算子的 $L^p$-有界性（其符号为 $m(\xi,\eta) = M(\xi - \eta)$）与关联核 $K$（满足 $M = \hat{K}$）的可积性之间有何关系？
• RQ3 是否可利用插值技术在 $\tilde{\mathcal{M}}_{(p_1,p_2,p_3)}(\mathbb{R})$ 中构造非平凡双线性乘子？
• RQ4 在何种条件下 $\tilde{\mathcal{M}}_{(p_1,p_2,p_3)}(\mathbb{R}) = \{0\}$？
• RQ5 当 $M = \hat{K}$ 时，双线性算子 $B_M(f,g)$ 的 $L^p$-范数与 $K$ 的 $L^q$-范数之间有何关系？

主要发现

• 当 $\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_3} > 1$ 或 $\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_3} < 1$ 时，空间 $\tilde{\mathcal{M}}_{(p_1,p_2,p_3)}(\mathbb{R})$ 为平凡空间（即仅含零函数），此结论通过高斯正则化与傅里叶变换的逐点衰减性得到证明。
• 若 $M = \hat{K}$ 且 $K \in L^q(\mathbb{R})$，满足 $\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_3} = 1 - \frac{1}{q}$，则 $M \in \tilde{\mathcal{M}}_{(p_1,p_2,p_3)}(\mathbb{R})$ 且 $\|M\|_{p_1,p_2,p_3} \leq C\|K\|_q$。
• 对于 $M \in M(\mathbb{R})$，其傅里叶变换 $\hat{M} = \mu$ 满足 $\hat{M} \in \tilde{\mathcal{M}}_{(p_1,p_2,p_3)}(\mathbb{R})$，当且仅当 $\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} = \frac{1}{p_3} \leq 1$，且有 $\|\hat{M}\| \leq \|\mu\|_1$。
• 双线性算子 $T(K,f,g)(x) = \int f(x-t)g(x+t)K(t) dt$ 在指标条件 $\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_3} = 1 - \frac{1}{q}$ 下，有界映射 $L^{p_1} \times L^{p_2}$ 到 $L^{p_3}$，其范数受 $\|K\|_q$ 控制。
• 当 $\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} < \frac{1}{p_3}$ 或 $\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} > \frac{1}{p_3} + 1$ 时，空间 $\tilde{\mathcal{M}}_{(p_1,p_2,p_3)}(\mathbb{R})$ 为平凡空间，此结论通过结合高斯正则化与黎曼-勒贝格引理得到证实。
• 在 $L^1 \times L^{q_1} \times L^{q_2} \to L^s$ 与 $L^{p'} \times L^{p_1} \times L^{p_2} \to L^\infty$ 估计之间进行插值，可推出在 $\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_3} = 1 - \frac{1}{q}$ 条件下，有 $L^q \times L^{p_1} \times L^{p_2} \to L^{p_3}$ 的有界性。