[论文解读] Notes on the vector adelic Grassmannian

George Wilson|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2015

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 5被引用 8

一句话总结

本文将 adelic Grassmannian 构造推广至向量丛，利用 Calogero-Moser 空间 $\mathcal{C}_n(r)$，即 $GL(n,\mathbb{C})$-不变四元组 $(X,Y;v,w)$ 的辛商，并通过哈密顿流建立 $\Gamma$-作用。关键贡献在于证明多项式环路群 $\Gamma^{\text{alg}}$ 作为自同态作用于 $M_r(A)$，保持向量 adelic Grassmannian 的结构。

ABSTRACT

These are notes about the connection between the Gibbons-Hermsen system and the multi-component KP hierarchy: they were intended as a first sketch of a paper on that subject, but since it seems unlikely that I will ever write such a paper I have decided to make them available in their present form. The notes were compiled in 2009, and have not been revised since then.

研究动机与目标

• 将 adelic Grassmannian 构造从标量情形推广至向量丛，利用 Calogero-Moser 空间 $\mathcal{C}_n(r)$。
• 通过多项式环路流在 $\mathcal{C}_n(r)$ 上定义哈密顿 $\Gamma$-作用。
• 刻画多项式环路子群 $\Gamma^{\text{alg}}$，其保持矩阵微分算子代数 $M_r(A)$ 的结构。
• 建立 $\Gamma^{\text{alg}}$ 是 $M_r(A)$ 中 $zI$ 的稳定子群，将自同态群与 Grassmannian 的结构联系起来。

提出的方法

• 构造辛商 $\mathcal{C}_n(r) = \mu^{-1}(-I)/GL(n,\mathbb{C})$，其中 $\mu(X,Y;v,w) = [X,Y] + vw$。
• 在 $V(n,r)$ 上定义哈密顿量 $J_{k,\alpha} = \operatorname{tr}(Y^k v \alpha w)$，其在 $GL(n,\mathbb{C})$ 下不变。
• 在 $\mathcal{C}^d$ 上求解哈密顿运动方程，其中 $Y$ 具有互异特征值，利用指数流 $v_i(t) = v_i(0)\exp(\lambda_i^k \alpha t)$。
• 利用解在 $\mathcal{C}^d$ 上定义 $\Gamma$-作用，并将其提升至 $\mathcal{C}_n(r)$ 上的全局作用。
• 证明 $\gamma \in \Gamma$ 保持 $M_r(A)$ 当且仅当 $\gamma^\prime \gamma^{-1}$ 是多项式矩阵，从而推出 $\gamma \in \Gamma^{\text{alg}}$。
• 通过 $\operatorname{Aut}M_r(A)$ 的半直积结构，证明 $\Gamma^{\text{alg}}$ 是 $zI$ 在 $M_r(A)$ 中的稳定子群。

实验结果

研究问题

• RQ1 向量 adelic Grassmannian 如何通过 Calogero-Moser 空间 $\mathcal{C}_n(r)$ 推广标量情形？
• RQ2 $\mathcal{C}_n(r)$ 上的 $\Gamma$-作用结构如何？其如何由哈密顿流导出？
• RQ3 $\Gamma$ 的哪个子群保持矩阵微分算子代数 $M_r(A)$ 的结构？
• RQ4 为何 $\Gamma^{\text{alg}}$ 是 $M_r(A)$ 中 $zI$ 的稳定子群？其与自同态群有何关联？

主要发现

• 空间 $\mathcal{C}_n(r)$ 是光滑的、不可约的、超凯勒的流形，作为 $GL(n,\mathbb{C})$ 在 $V(n,r)$ 上作用的辛商实现。
• 在 $\mathcal{C}^d$ 上，$J_{k,\alpha}$ 的哈密顿流通过 $v_i$ 和 $w_j$ 的指数演化生成 $\Gamma$-作用。
• 泊松括号关系 $\{J_{k,\alpha}, J_{l,\beta}\} = J_{k+l,[\alpha,\beta]}$ 迹出了 $\mathfrak{gl}(r)$ 中多项式环路的李代数结构。
• $\Gamma^{\text{alg}}$ 作为多项式环路群，正是满足 $\gamma^\prime \gamma^{-1}$ 为多项式矩阵的 $\gamma \in \Gamma$ 的全体。
• $zI$ 在 $M_r(A)$ 中的稳定子群恰好是 $\Gamma^{\text{alg}}$，此结论通过 $\operatorname{Aut}M_r(A)$ 的半直积分解得以证明。
• $\mathcal{C}_n(r) \hookrightarrow \mathcal{C}_n(r+1)$ 的包含映射（通过向 $v$ 和 $w$ 添加零行/列给出）与 $\Gamma^{\text{alg}}$-作用相容。