[论文解读] Notes on Wick's theorem in many-body theory

Luca Guido Molinari|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2017

Quantum Mechanics and Applications参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文提供了多体理论中 Wick 定理的教学推导，重点在于相对于参考态的静态和时间有序的正规排序。它建立了一套系统程序，通过 c-数收缩将产生和湮灭算符的乘积表示为正规有序形式，采用新颖的归纳法证明时间有序情形，从而实现自由与相互作用理论中 Green 函数的高效计算。

ABSTRACT

In this pedagogical note I present the operator form of Wick's theorem, i.e. a procedure to bring a product of 1-particle creation and destruction operators to normal order, with respect to some reference many-body state. Both the static and the time-ordered cases are presented. For the latter, in particular, I provide a simple proof.

研究动机与目标

• 为多体量子场论背景下的 Wick 定理提供清晰且易于理解的推导。
• 形式化相对于参考多体态（如费米海或 BCS 基态）的场算符乘积正规排序程序。
• 将标准 Wick 定理扩展至时间有序乘积，这对量子场论中的微扰计算至关重要。
• 阐明 c-数收缩的作用及其在时间有序和统计性质（玻色子/费米子）下的变换特性。

提出的方法

• 引入场算符的分解 $A_i = A_i^- + A_i^+$，其中 $A_i^-$ 湮灭参考态，$A_i^+$ 从其产生。
• 将正规排序 $\mathcal{N}[\cdots]$ 定义为将所有 $A_i^+$ 算符置于 $A_j^-$ 算符左侧。
• 引入静态收缩 $\langle A_i A_j \rangle = \langle gs| A_i A_j |gs \rangle$ 和时间有序收缩 $\overbrace{A_i(t_i) A_j(t_j)} = \langle gs| \mathcal{T} A_i(t_i) A_j(t_j) |gs \rangle$。
• 应用对易关系（CCR）或反对易关系（CAR）以确保混合括号 $[A_i^-, A_j^+]_\mp$ 为 c-数，这是 Wick 定理成立的关键条件。
• 使用归纳法证明时间有序版本的 Wick 定理，表明 $\mathcal{T}[A_1\cdots A_n]$ 可分解为正规有序项之和，且收缩数逐次增加。
• 展示该定理将 $n$-粒子 Green 函数的计算简化为单粒子传播器的永久（玻色子）或行列式（费米子）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将相对于非真空参考态的场算符乘积重写为正规有序形式？
• RQ2 多体系统中时间有序收缩的结构是什么？它们与费曼传播器有何关联？
• RQ3 为何 Wick 定理仅在混合算符括号 $[A_i^-, A_j^+]_\mp$ 为 c-数时成立？
• RQ4 时间有序 Wick 定理的归纳证明如何确保与量子场论因果结构的一致性？
• RQ5 这些结果在何种方式下简化了自由理论中 $n$-粒子 Green 函数的计算？

主要发现

• 时间有序乘积的 Wick 定理指出 $\mathcal{T}[A_1\cdots A_n] = \sum_{k=0}^n \mathcal{N}[\text{所有 } k\text{-收缩}]$，并提供了严格的归纳证明。
• 时间有序收缩满足 $\overbrace{A_i(t_i)A_j(t_j)} = \pm \overbrace{A_j(t_j)A_i(t_i)}$，反映了期望值的时间有序性质。
• 对于非相互作用费米子，$n$-粒子 Green 函数简化为单粒子传播器 $G^0(x_i, y_j)$ 的行列式，如式 (42) 所示。
• 在 BCS 超导态中，异常收缩 $F^0$ 和 $F^{\dagger 0}$ 非零，反映了库珀对关联。
• 该定理允许将自由理论中 $n$-粒子 Green 函数的计算表示为所有排列的加权和，其中权重为排列的符号（费米子）或永久（玻色子）。
• 证明依赖于关键引理：$A_\ell N_{n,k} = \mathcal{N}[A_\ell N_{n,k}] + \mathcal{N}[\contraction{}{A}{{}_{\ell}}{N} A_\ell N_{n,k}]$，其中收缩由于最大时间有序而被时间有序化。