[论文解读] Notions of Anonymous Existence in Martin-Löf Type Theory

Nicolai Kraus, Martı́n Hötzel Escardó+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2016

Logic, programming, and type systems参考文献 10被引用 14

一句话总结

本文通过引入身份类型上的弱常值自函数，推广了Hedberg定理，表明在特定条件下，此类函数可通过命题截断进行分解。研究揭示了具有唯一身份证明的类型（即集合）可通过此类函数进行刻画，引入了通过截断实现的匿名存在性新概念，并揭示了同伦类型论中截断的判断性计算规则带来的意外后果，所有内容均在Agda中形式化。

ABSTRACT

As the groupoid model of Hofmann and Streicher proves, identity proofs in intensional Martin-Löf type theory cannot generally be shown to be unique. Inspired by a theorem by Hedberg, we give some simple characterizations of types that do have unique identity proofs. A key ingredient in these constructions are weakly constant endofunctions on identity types. We study such endofunctions on arbitrary types and show that they always factor through a propositional type, the truncated or squashed domain. Such a factorization is impossible for weakly constant functions in general (a result by Shulman), but we present several non-trivial cases in which it can be done. Based on these results, we define a new notion of anonymous existence in type theory and compare different forms of existence carefully. In addition, we show possibly surprising consequences of the judgmental computation rule of the truncation, in particular in the context of homotopy type theory. All the results have been formalized and verified in the dependently typed programming language Agda.

研究动机与目标

• 通过身份类型上的弱常值自函数刻画具有唯一身份证明的类型，扩展Hedberg定理。
• 研究弱常值函数在何种条件下可因子化通过命题截断，尽管在类型论中普遍存在障碍。
• 引入并形式化通过截断实现的匿名存在性新概念，与标准存在量词相区别。
• 分析命题截断的判断性计算规则在同伦类型论中的影响。
• 厘清不同存在形式之间的关系，如命题截断、括号类型与标准存在类型。

提出的方法

• 将弱常值函数定义为将任意两个输入映射到相等输出的函数，无需满足一致性条件。
• 刻画存在此类函数的身份类型，表明其对应于集合（即具有唯一身份证明的类型）。
• 证明在特定条件下，任意类型上的弱常值自函数可因子化通过其定义域的命题截断。
• 利用命题截断（压缩类型）定义匿名存在性，即断言存在性但不揭示实例。
• 在Agda中形式化所有结果，利用依赖类型与函数外延性以验证一致性和类型论正确性。
• 分析截断的判断性计算行为，表明其在同伦类型论中导致出人意料的后果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，类型上的弱常值函数可因子化通过其命题截断，尽管在类型论中通常不可能？
• RQ2 身份类型上的弱常值自函数如何刻画集合（即具有唯一身份证明的类型）？
• RQ3 命题截断与匿名存在性在类型论中的精确关系为何？
• RQ4 截断的判断性计算规则对同伦类型论中的类型论构造有何影响？
• RQ5 标准存在量词、命题截断与括号类型等不同存在概念在强度与表达力方面如何比较？

主要发现

• 身份类型上的弱常值自函数存在当且仅当该类型满足唯一身份证明（即为集合），推广了Hedberg原始结果。
• 此类身份类型上的弱常值自函数即使在一般情况下无法对任意弱常值函数成立，仍可因子化通过其定义域的命题截断。
• 本文通过命题截断引入了匿名存在性的新概念，即断言存在性但不揭示实例，与标准存在类型有本质区别。
• 命题截断的判断性计算规则导致出人意料的后果，例如在特定条件下可从截断类型中提取实例。
• 路径空间上的常值自映射类型是命题类型，且此类自映射的存在性等价于类型为集合。
• 函数外延性意味着所有标准类型论谓词如 isProp、isContr、isSet 和 isDiscrete 本身均为命题类型。