[论文解读] Novel algebraic structures from the polysymplectic form in field theory

Igor V. Kanatchikov|ArXiv.org|Dec 31, 1996

Advanced Topics in Algebra参考文献 2被引用 21

一句话总结

本文引入了多辛形式作为经典力学中辛形式的场论推广，构造了作用于微分形式上的泊松括号，从而得到广义的非交换、高阶的格伦斯坦哈伯代数。主要贡献在于识别出德·唐德-外尔多动量哈密顿场论中水平形式上的新型代数结构——广义（非交换且高阶）格伦斯坦哈伯代数。

ABSTRACT

The polysymplectic $(n+1)$-form is introduced as an analogue of the symplectic form for the De Donder-Weyl polymomentum Hamiltonian formulation of field theory. The corresponding Poisson brackets on differential forms are constructed. The analogues of the Poisson algebra are shown to be generalized (non-commutative and higher-order) Gerstenhaber algebras defined in the text.

研究动机与目标

• 通过多辛形式建立哈密顿力学中辛结构的场论类比。
• 将经典场论的德·唐德-外尔哈密顿表述中的泊松代数结构从力学推广至场论。
• 识别出多动量相空间中微分形式上泊松括号背后的代数结构。
• 证明作用于水平形式上的括号运算满足非交换、高阶的分次莱布尼茨恒等式，从而推广格伦斯坦哈伯代数。
• 为通过此新代数框架将正则、形变或几何量子化方法推广至场论奠定基础。

提出的方法

• 在扩展的多动量相空间 $\mathcal{Z}$ 上定义多辛形式 $\Omega := d^V \Theta = -dp^i_a \wedge dy^a \wedge \omega_i$，其中 $\Theta = -p^i_a dy^a \wedge \omega_i$ 属于 $\bigwedge^n_1 / \bigwedge^n_0$ 的陪集。
• 将垂直外微分 $d^V$ 定义为模去 $\bigwedge^{p+1}_q$ 形式后的外微分，以确保 $\Omega$ 作为等价类的代表是良定义的。
• 通过收缩 $X_F \hskip 2.0pt\raisebox{-1.0pt}{\rule{6.0pt}{0.3pt}\rule{0.3pt}{8.0pt}}\hskip 3.0pt \Omega = -d^V F$ 将哈密顿向量场 $X_F$ 关联到水平形式 $F \in \bigwedge^p_0(\mathcal{Z})$。
• 在满足分次洛代代数恒等式的分次微分算子（g.d.o.-s）上定义左半括号 $[[X,Y]]$，从而推广李代数结构。
• 推导出作用于水平形式上的泊松型括号 $\{[F,G]\} = (-)^{n-F} X_F \hskip 2.0pt\raisebox{-1.0pt}{\rule{6.0pt}{0.3pt}\rule{0.3pt}{8.0pt}}\hskip 3.0pt X_G \hskip 2.0pt\raisebox{-1.0pt}{\rule{6.0pt}{0.3pt}\rule{0.3pt}{8.0pt}}\hskip 3.0pt \Omega$。
• 证明该括号满足右部分次莱布尼茨法则与左高阶部分次莱布尼茨法则，从而确立广义格伦斯坦哈伯代数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不破坏时空协变性的情况下，将力学中的辛结构推广至场论？
• RQ2 德·唐德-外尔哈密顿表述中微分形式泊松括号背后的代数结构是什么？
• RQ3 作用于水平形式上的分次括号如何满足非交换与高阶的莱布尼茨恒等式推广？
• RQ4 能否利用新括号结构将运动方程重新表述为泊松括号形式？
• RQ5 多辛形式在场论中作为基本几何对象的角色是什么，其类比于力学中辛形式的作用如何？

主要发现

• 多辛形式 $\Omega = -dp^i_a \wedge dy^a \wedge \omega_i$ 被定义为 $\bigwedge^{n+1}_1 / \bigwedge^{n+1}_0$ 中等价类的代表，将辛形式推广至场论。
• 哈密顿分次微分算子（g.d.o.-s）在左半括号 $[[X,Y]]$ 下形成一个分次洛代代数，满足恒等式 $[[X,[[Y,Z]]]] = [[X,[[Y,Z]]]] - (-)^{(|X|+1)(|Y|+1)} [[Y,[[X,Z]]]]$。
• 作用于水平形式上的泊松括号 $\{[F,G]\}$ 满足右部分次莱布尼茨法则：$\{[F\wedge G,K]\} = F\wedge\{[G,K]\} + (-)^{G(n-K-1)}\{[F,K]\}\wedge G$。
• 该括号还满足左高阶部分次莱布尼茨法则：$\{[\{[F,G]\},K]\} = \{[F,\{[G,K]\}]\} - (-)^{(n-F-1)(n-G-1)} \{[G,\{[F,K]\}]\}$。
• 由此产生的代数结构是格伦斯坦哈伯代数的非交换、高阶推广，将力学中的泊松代数扩展至场论。
• 动力学变量 $F$ 的运动方程可表示为 $\mathbf{d}F = \{[H\omega, F]\}$，其中 $\mathbf{d}F = dx^i \wedge (\partial_i y^a \partial_a F + \partial_i p^j_a \partial^a_j F)$，将力学中的时间导数推广为场论中的全微分。