[论文解读] Novel anomalous diffusion phenomena of underdamped Langevin equation with random parameters

Yao Chen, Xudong Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2021

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 76被引用 8

一句话总结

本文研究了在时间依赖速度扩散率和随机弛豫时间尺度 τ 的非平衡阻尼朗之万系统中的异常扩散，表明重尾 τ 分布会抑制速度关联的衰减并增强扩散，而随机初始速度 v₀ 进一步放大此效应——两者与时间依赖扩散率竞争，导致非平凡的遍历性破缺和超扩散行为，即使各阶矩有限亦然。

ABSTRACT

The diffusion behavior of particles moving in complex heterogeneous environment is a very topical issue. We characterize particle's trajectory via an underdamped Langevin system driven by a Gaussian white noise with a time dependent diffusivity of velocity, together with a random relaxation timescale $ au$ to parameterize the effect of complex medium. We mainly concern how the random parameter $ au$ influences the diffusion behavior and ergodic property of this Langevin system. Besides, the comparison between the fixed and random initial velocity $v_0$ is conducted to show the effect of different initial ensembles. The heavy-tailed distribution of $ au$ with finite mean is found to suppress the decay rate of the velocity correlation function and promote the diffusion behavior, playing a competition role to the time dependent diffusivity. More interestingly, a random $v_0$ with a specific distribution depending on random $ au$ also enhances the diffusion. Both the random parameters $ au$ and $v_0$ influence the dynamics of the Langevin system in an non-obvious way, which cannot be ignored even they has finite moments.

研究动机与目标

• 理解随机弛豫时间尺度 τ 如何影响非平衡阻尼朗之万系统中的异常扩散与遍历性。
• 分析时间依赖扩散率与随机 τ 之间的竞争如何塑造扩散行为。
• 研究随机初始速度 v₀（尤其是当其依赖于 τ 时）对扩散与遍历性的影响。
• 通过时间平均（TAMSD）与系综平均（EAMSD）均方位移比较遍历性质。
• 量化具有有限矩的重尾 τ 与 v₀ 分布如何导致超越标准模型的非平凡异常扩散。

提出的方法

• 构建一个具有时间依赖扩散率 νt^{β−1} 和从修正 Lévy 分布中抽取的随机弛豫时间尺度 τ 的非平衡阻尼朗之万方程。
• 采用修正 Lévy 分布对 τ 建模，以表征复杂非均质介质，确保有限均值 ⟨τ⟩ 同时允许重尾波动。
• 通过拉普拉斯变换与反拉普拉斯方法对 τ 进行平均，计算速度关联函数，结合 Lévy 分布的积分表示。
• 推导 EAMSD 与 TAMSD 的解析表达式，包括大时间与滞后时间的渐近行为。
• 应用反变换采样方法，从 Lévy 分布中数值生成 τ 以进行轨迹模拟。
• 比较固定 vs. 随机 τ 以及固定 vs. 随机 v₀，以分离其对扩散与遍历性的独立与联合影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 重尾分布的弛豫时间尺度 τ 如何影响非平衡阻尼朗之万系统中的速度关联函数与扩散动力学？
• RQ2 时间依赖扩散率 νt^{β−1} 在与随机 τ 竞争时，如何决定异常扩散指数？
• RQ3 随机初始速度 v₀（尤其是当其与 τ 耦合时）如何改变扩散行为与遍历性破缺？
• RQ4 具有有限矩的重尾 τ 与 v₀ 分布在多大程度上导致非遍历性超扩散行为？
• RQ5 在随机 τ 与 v₀ 存在时，TAMSD 与 EAMSD 如何比较？这对复杂介质中单粒子追踪有何启示？

主要发现

• 具有有限均值的重尾 τ 分布会抑制速度关联函数的衰减速率，即使时间依赖扩散率试图减缓此过程，仍会促进超扩散行为。
• 时间依赖扩散率与随机 τ 之间的竞争导致从亚扩散到超扩散的非单调转变，特定 τ 与 β 值下可观测到异常指数 μ > 1。
• 随机初始速度 v₀（尤其是当其服从依赖于 τ 的分布时）会将扩散增强至仅由 τ 单独作用时的水平以上，表明初始条件与介质非均质性之间存在非平凡耦合。
• 系综平均的 TAMSD 表现为 ⟨δ²(∆)⟩ ≃ ν(1+α)⟨τ⟩/(C)^αΓ(2−α) ∆^{2−α}，表明具有指数 2−α < 2 的超扩散行为，与异常扩散一致。
• 观察到遍历性破缺：由于随机 τ 与 v₀ 导致的非遍历性，TAMSD 与 EAMSD 不收敛，即使两者矩均有限。
• EAMSD 与 TAMSD 的解析表达式通过渐近分析与数值模拟得到验证，对大时间与滞后时间均与理论预测高度一致。