[论文解读] Novel convex decomposition of piecewise affine functions

Nils Schlüter, Moritz Schulze Darup|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2021

Advanced Control Systems Optimization参考文献 6被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种基于优化的新方法，将任意连续分段仿射（PWA）函数分解为两个复杂度相等的凸PWA函数。与以往方法相比，这些方法常导致高复杂度或复杂度不平衡，而本方法确保了在所有情况下的适用性，并显著降低了显式模型预测控制（MPC）应用中的计算开销。

ABSTRACT

In this paper, we present a novel approach to decompose a given piecewise affine (PWA) function into two convex PWA functions. Convex decompositions are useful to speed up or distribute evaluations of PWA functions. Different approaches to construct a convex decomposition have already been published. However, either the two resulting convex functions have very high or very different complexities, which is often undesirable, or the decomposition procedure is inapplicable even for simple cases. Our novel methodology significantly reduces these drawbacks in order to extend the applicability of convex decompositions.

研究动机与目标

• 解决现有分段仿射（PWA）函数凸分解方法的局限性，这些方法常导致高复杂度或复杂度不平衡。
• 开发一种普遍适用的方法，即使在先前方法失效或计算上不可行的复杂PWA函数情况下也能适用。
• 在保持凸分解优势（如更快评估和更低内存占用）的同时，确保两个凸分量具有相近的复杂度。
• 在显式模型预测控制（MPC）中展示实际优势，其中PWA函数常见，且评估效率至关重要。

提出的方法

• 该方法将PWA函数 $ f(\boldsymbol{x}) $ 的分解形式化为 $ g(\boldsymbol{x}) - h(\boldsymbol{x}) $，其中 $ g $ 和 $ h $ 均为凸PWA函数。
• 采用基于优化的方法构造 $ g $ 和 $ h $，使其底层划分在大小上保持平衡，避免了凸折叠或超平面排列方法中出现的高复杂度。
• 该方法确保 $ g $ 和 $ h $ 中多面体分段的数量最小化且相等，基于对初始划分 $ \bigcup_{i=1}^s \tilde{\boldsymbol{X}}_i $ 的结构化细化。
• 该方法设计为始终适用，即使在先前方法失效的情况下——例如在存在重叠或复杂多面体区域的情况下。
• 它利用了凸PWA函数可通过最大仿射表示高效计算的事实，从而通过并行或分布式计算实现更快的评估。
• 通过具有不同预测时域 $ N $ 的显式MPC基准测试验证了该分解方法，其中测量并比较了结果划分的复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种PWA函数的凸分解，使得两个凸分量具有相等且最小的复杂度？
• RQ2 是否可能设计一种分解方法，使其在现有方法失效或数值上难以处理的情况下依然普遍适用？
• RQ3 与凸折叠法和超平面排列法等现有方法相比，所提方法在计算复杂度和评估效率方面表现如何？
• RQ4 所提分解在显式MPC应用中，能在多大程度上减少评估时间和内存使用？

主要发现

• 所提方法实现了两个凸分量 $ g $ 和 $ h $ 的复杂度相等，当 $ N = 10 $ 时，两者均为339个多面体分段，而凸折叠法分别为105,581和106,697个分段。
• 当 $ N = 15 $ 时，新方法的总复杂度（694个分段）低于凸折叠法（803个分段），证明了其更高的效率。
• 基于优化的方法[5]在 $ N > 1 $ 时变得不切实际，其超平面排列正则化使复杂度增加至 $ N = 15 $ 时的26,786个分段。
• 由于 $ g $ 和 $ h $ 的高效最大仿射评估，显式MPC案例研究中评估时间减少了10倍，存储容量减少了16倍。
• 该方法始终适用，即使在先前方法失效或产生高度不平衡分解的复杂PWA函数情况下也适用。
• 该分解通过最大仿射计算实现了更快的评估，优于显式MPC中传统的二叉搜索树方法。