[论文解读] Novel differential quadrature element method for higher order strain gradient elasticity theory

Md. Ishaquddin, S. Gopalakrishnan|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2018

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 39被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于拉格朗日插值的新型微分求积单元法，用于求解梁和板在应变梯度弹性理论中的六阶偏微分方程。通过仅将位移作为单元域内的唯一自由度，并利用修正的权重系数引入边界处的转角和曲率，该方法高效处理了非经典边界条件，在各种边界条件下对梯度弹性梁和板的静力分析中表现出高精度。

ABSTRACT

In this paper, we propose a novel and efficient differential quadrature element based on Lagrange interpolation to solve a sixth order partial differential equations encountered in non-classical beam theories. These non-classical theories render displacement, slope and curvature as degrees of freedom for an Euler-Bernoulli beam. A generalize scheme is presented herein to implementation the multi-degrees degrees of freedom associated with these non-classical theories in a simplified and efficient way. The proposed element has displacement as the only degree of freedom in the domain, whereas, at the boundaries it has displacement, slope and curvature. Further, we extend this methodology and formulate two novel versions of plate element for gradient elasticity theory. In the first version, Lagrange interpolation is assumed in $x$ and $y$ directions and the second version is based on mixed interpolation, with Lagrange interpolation in $x$ direction and Hermite interpolation in $y$ direction. The procedure to compute the modified weighting coefficients by incorporating the classical and non-classical boundary conditions is explained. The efficiency of the proposed elements is demonstrated through numerical examples on static analysis of gradient elastic beams and plates for different boundary conditions.

研究动机与目标

• 解决基于应变梯度弹性的非经典梁和板理论中出现的六阶偏微分方程的求解挑战。
• 在高阶连续介质理论中，为多自由度系统（位移、转角、曲率）提供一种简化且高效的实现方法。
• 通过引入基于拉格朗日插值和混合插值的新公式，将微分求积单元法（DQEM）扩展至梯度弹性理论。
• 通过修正的权重系数，为施加经典和非经典边界条件提供一个通用框架。
• 通过在不同载荷和支承条件下对梁和板进行综合数值基准测试，验证所提单元的精度与效率。

提出的方法

• 采用拉格朗日插值构造一种新型微分求积梁单元，仅将位移作为单元域内的唯一自由度，边界处则包含位移、转角和曲率作为自由度。
• 开发了两种新的板单元公式：一种在x和y方向均采用拉格朗日插值（SgDQE-LL）；另一种采用混合插值——x方向为拉格朗日插值，y方向为埃尔米特插值（SgDQE-LH），以确保C²连续性。
• 提出一种通用程序，用于计算能将经典和非经典边界条件直接整合到单元公式中的修正权重系数。
• 该方法利用微分求积技术对控制的六阶偏微分方程进行离散化，从而实现高精度的数值解。
• 在数值算例中采用狄拉克δ函数，以精确模拟集中载荷。
• 通过在均匀分布载荷和集中载荷作用下对梯度弹性梁和板进行静力分析，对公式进行验证，结果与解析解及现有数值解进行对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何高效地构造一种微分求积单元，以求解梁和板在应变梯度弹性理论中的六阶偏微分方程？
• RQ2 在高阶梁和板模型中，处理多个自由度（位移、转角、曲率）时，最有效的插值策略是什么？
• RQ3 如何在DQEM框架的权重系数计算中，一致且准确地引入经典和非经典边界条件？
• RQ4 所提方法在不同边界条件和尺度参数下，对梯度弹性结构的精度和收敛性保持程度如何？
• RQ5 SgDQE-LL与SgDQE-LH公式在梯度弹性梁和板的静力分析中，性能与精度表现如何比较？

主要发现

• 所提出的SgDQE-LL和SgDQE-LH单元在均匀分布载荷作用下对梯度板的分析结果与解析解高度一致，当g/lx = 0.00001时，挠度和曲率的相对误差均低于0.1%。
• 在中心集中载荷作用下，CFCF、SFSF和SFCF板的SgDQE-LL与SgDQE-LH结果在g/lx = 0.00001时与经典解接近，且在较高尺度参数下彼此吻合良好。
• 在圆柱形弯曲情况下，两种单元的最大挠度结果在所有g/lx值下（包括g/lx = 0.5）与解析解的误差均在1%以内。
• 在CFFF和SSSS边界条件下，SgDQE-LH单元在高阶弯矩和挠度计算中略优于SgDQE-LL单元，尤其在g/lx = 0.5时表现更优。
• 该方法成功捕捉了尺度效应，随着g/lx从0.00001增至0.5，挠度显著减小，与梯度弹性理论的预期一致。
• 修正的权重系数方法无需引入额外自由度，即可准确施加非经典边界条件，从而提升了计算效率。