[论文解读] Novel Expressions for the Rice $Ie{-}$Function and the Incomplete Lipschitz-Hankel Integrals

Paschalis C. Sofotasios, Steven Freear|arXiv (Cornell University)|May 14, 2015

Advanced Wireless Communication Techniques参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文提出了Rice $Ie$-函数和修正贝塞尔函数的不完全Lipschitz-Hankel积分（ILHIs）的新型闭式表达式及高度精确的多项式逼近。推导出精确的级数和紧致的闭式截断误差界，实现了在衰落信道中数字通信性能分析的高效且精确的数值计算。

ABSTRACT

This paper presents novel analytic expressions for the Rice $Ie{-}$function, $Ie(k,x)$, and the incomplete Lipschitz-Hankel Integrals (ILHIs) of the modified Bessel function of the first kind, $Ie_{m,n}(a,z)$. Firstly, an exact infinite series and an accurate polynomial approximation are derived for the $Ie(k ,x)$ function which are valid for all values of $k$. Secondly, an exact closed-form expression is derived for the $Ie_{m,n}(a,z)$ integrals for the case that $n$ is an odd multiple of $1/2$ and subsequently an infinite series and a tight polynomial approximation which are valid for all values of $m$ and $n$. Analytic upper bounds are also derived for the corresponding truncation errors of the derived series'. Importantly, these bounds are expressed in closed-form and are particularly tight while they straightforwardly indicate that a remarkable accuracy is obtained by truncating each series after a small number of terms. Furthermore, the offered expressions have a convenient algebraic representation which renders them easy to handle both analytically and numerically. As a result, they can be considered as useful mathematical tools that can be efficiently utilized in applications related to the analytical performance evaluation of classical and modern digital communication systems over fading environments, among others.

研究动机与目标

• 为解决主要科学软件中缺乏对Rice $Ie$-函数和ILHIs的原生支持，该问题阻碍了无线通信中的分析与数值计算。
• 推导出适用于所有 $k$ 和 $x$ 的 $Ie(k,x)$ 函数的精确与近似解析表达式，提升计算可处理性。
• 为 $n$ 为奇数半整数时的 $Ie_{m,n}(a,z)$ 推导出精确的闭式表达式，并为任意 $m$ 和 $n$ 提供一般级数与多项式逼近。
• 为所推导级数的截断误差提供紧致的闭式上界，确保使用少量项即可实现高精度。
• 提供代数上易于处理的表达式，兼具分析上的便利性与数值实现的高效性，适用于衰落信道中的性能评估。

提出的方法

• 通过涉及修正贝塞尔函数和斯特鲁夫函数的级数展开，推导出Rice $Ie(k,x)$ 函数的精确无穷级数和多项式逼近。
• 通过积分变换与级数重组，为 $n = 2k+1/2$，$k \in \mathbb{N}$ 的情形建立 $Ie_{m,n}(a,z)$ 的精确闭式表达式。
• 基于合流超几何函数与不完全伽马函数，为所有实数 $m$ 和 $n$ 推导出 $Ie_{m,n}(a,z)$ 的一般无穷级数与多项式逼近。
• 利用单调性性质与下取整整数恒等式，推导出多项式逼近截断误差的闭式上界。
• 通过在不同参数下对级数与误差界进行数值评估，验证逼近的精度与收敛性。
• 利用已知恒等式将 $Ie$-函数与Marcum $Q$-函数、ILHIs与修正贝塞尔函数之间的关联，推导出新的表示形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为所有 $k$ 和 $x$ 的Rice $Ie(k,x)$ 函数推导出高度精确且计算高效的多项式逼近？
• RQ2 当 $n$ 为 $1/2$ 的奇数倍时，是否存在 $Ie_{m,n}(a,z)$ 的闭式表达式？
• RQ3 能否为所有实数 $m$ 和 $n$ 构建适用于 $Ie_{m,n}(a,z)$ 的一般级数与多项式逼近？
• RQ4 能否为所提级数逼近的截断误差推导出紧致的闭式上界，以确保使用最少项数即可实现高精度？
• RQ5 在实际通信系统建模中，所推导表达式的精度与收敛速度相较于现有方法表现如何？

主要发现

• 为Rice $Ie(k,x)$ 函数推导出精确无穷级数与高度精确的多项式逼近，适用于所有 $k$ 和 $x$，且截断误差由闭式表达式界定。
• 为 $n$ 为 $1/2$ 的奇数倍的情形推导出 $Ie_{m,n}(a,z)$ 的精确闭式表达式，使特殊情形下的精确计算成为可能。
• 为任意 $m$ 和 $n$ 的 $Ie_{m,n}(a,z)$ 提出一般无穷级数与紧致多项式逼近，其收敛性通过数值验证。
• 推导出截断误差的闭式上界，且结果表明其极为紧致，表明仅需少量项即可实现高精度。
• 所推导的表达式代数上易于处理，适用于分析推导与数字通信系统性能评估中的数值实现。
• 数值结果证实 $Ie_{m,n}(a,z)$ 关于 $n$ 的单调性，并在各种参数设置（$m$，$n$，$a$，$z$）下验证了逼近的高精度。