[论文解读] Novel Inequalities for Generalized Graph Entropies Revisited, Graph Energies and Topological Indices

Xueliang Li, Zhongmei Qin+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2014

Graph theory and applications参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文建立了广义图熵（源自Rényi和Daròczy熵）与图能量及拓扑指数（特别是偏斜Randić能量和一般Randić指数）之间的新不等式。研究证明了这些度量之间的精确解析关系，包括熵、能量与谱不变量之间的闭式表达式，并推导出九种广义熵的极值性质。

ABSTRACT

The entropy of a graph is an information-theoretic quantity which expresses the complexity of a graph \cite{DM1,M}. After Shannon introduced the definition of entropy to information and communication, many generalizations of the entropy measure have been proposed, such as Rényi entropy and Daròczy's entropy. In this article, we prove accurate connections (inequalities) between generalized graph entropies, distinct graph energies and topological indices. Additionally, we obtain some extremal properties of nine generalized graph entropies by employing distinct graph energies and topological indices.

研究动机与目标

• 建立广义图熵与图能量/拓扑指数之间精确的数学联系。
• 利用图能量与拓扑指数框架，推导九种广义图熵度量的极值性质。
• 通过谱不变量与结构不变量，统一并扩展图论中现有的基于熵的复杂性度量。
• 系统分析Rényi型与Daròczy型广义熵之间的不等式关系，及其与能量和指数基度量的关系。

提出的方法

• 基于图不变量导出的概率分布与顶点信息函数，推导广义图熵。
• 将Rényi熵与Daròczy熵作为图广义熵度量的基础模型。
• 引入偏斜Randić矩阵及其特征值，定义偏斜Randić能量，建立谱图论与熵度量之间的联系。
• 建立广义熵（I¹, I²ₐ, I³ₐ）与偏斜Randić能量REₛ(Gσ)及一般Randić指数R₋₁(G)之间的精确关系。
• 利用偏斜Randić矩阵的谱性质（包括∑|ρᵢ|² = 2R₋₁(G)）推导闭式恒等式。
• 运用图能量与拓扑指数的已知界，推导广义熵的极值不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义图熵如何被精确地关联到图能量与一般Randić指数等拓扑指数？
• RQ2 在谱与结构约束下，九种广义图熵度量的极值性质是什么？
• RQ3 Rényi型与Daròczy型广义熵之间存在哪些不等式？它们如何依赖于参数α？
• RQ4 能否推导出偏斜Randić能量、广义熵与一般Randić指数在有向图中的闭式表达式？

主要发现

• 广义熵I¹ᴿₛ(Gσ)精确等于1 − 2R₋₁(G)/REₛ²(Gσ)，建立了熵、能量与一般Randić指数之间的直接联系。
• 对于Rényi型熵I²ₐ(Gσ)，推导出表达式I²ₐ = (1/(1−α)) log(Mₐ*/REₛᵃ(Gσ))，其中Mₐ* = ∑|ρᵢ|ᵃ。
• 对于Daròczy型熵I³ₐ(Gσ)，证明了恒等式I³ₐ = (1/(2¹⁻ᵃ−1))(Mₐ*/REₛᵃ(Gσ) − 1)，将熵与谱范数联系起来。
• 证明了对任意具有n个顶点的有向图，有I¹ᴿₛ(Gσ) ≤ 1 − 1/n，建立了紧致的极值上界。
• 当0 < α < 1时，I²ₐ < I³ₐ·ln 2；当α > 1时，I²ₐ > ((1−2¹⁻ᵃ)ln 2)/(α−1)·I³ₐ，揭示了熵类型在参数依赖下的排序关系。
• 当α ≥ 2或0 < α < 1时，I³ₐ > I¹；当1 < α < 2时，I¹ > (1−2¹⁻ᵃ)I³ₐ，展示了熵度量的结构性排序。