[论文解读] Novel results on trapped surfaces

José M. M. Senovilla|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文通过平均曲率向量的因果性质，提出了一种适用于任意余维数的截面子流形的统一几何定义，并建立了对称性（如Killing向量）与截面性之间的普遍几何约束。研究证明，静态时空不可能包含任何余维数的闭合截面或极限截面子流形，并通过一个导出的一次微分形式的范数，提出了一个简单的判别准则，用于判断余维数为2的曲面是否处于截面状态。

ABSTRACT

A unifying definition of trapped submanifold for arbitrary codimension by means of its mean curvature vector is presented. Then, the interplay between (generalized) symmetries and trapped submanifolds is studied, proving in particular that (i) stationary spacetimes cannot contain closed trapped nor marginally trapped submanifolds S of any codimension; (ii) S can be within the subset where there is a null Killing vector only if it is marginally trapped with mean curvature vector parallel to the null Killing; (iii) any submanifold orthogonal to a timelike or null Killing vector has a mean curvature vector orthogonal to it. All results are purely geometric, hold in arbitrary dimension, and can be appropriately generalized to many non-Killing vector fields, such as conformal Killing vectors and the like. A simple criterion to ascertain the trapping or not of a family of codimension-2 submanifolds is given. A path allowing to generalize the singularity theorems is conjectured as feasible and discussed.

研究动机与目标

• 通过平均曲率向量的因果性质，为适用于任意余维数的截面子流形提供一个统一的几何定义。
• 研究一般时空中对称性（特别是Killing向量）与子流形截面性质之间的相互作用。
• 推导在具有类时或类光Killing向量的时空中，截面或极限截面子流形存在性的普遍几何约束。
• 通过局部几何构造，将余维数为2的曲面的截面判别准则推广至一般时空。
• 提出一条可行路径，以基于截面子流形的几何结构推广经典奇点定理。

提出的方法

• 通过平均曲率向量 $\vec{H} = \gamma^{AB}\vec{K}_{AB}$ 的因果性质定义截面子流形，其中 $\vec{K}_{AB}$ 为外曲率向量。
• 利用恒等式 $\frac{1}{2}\gamma^{AB}(\mathcal{L}_{\vec{\xi}}g)|_S(\vec{e}_A,\vec{e}_B) = \overline{\nabla}_C\overline{\xi}^C + (\vec{\xi} \cdot \vec{H})|_S$ 将Killing对称性与平均曲率向量关联起来。
• 应用高斯定理对闭合子流形上的 $\vec{\xi} \cdot \vec{H}$ 进行积分，证明当 $\vec{\xi}$ 为Killing向量时，有 $\int_S (\vec{\xi} \cdot \vec{H}) \, \boldsymbol{\eta}_S = 0$。
• 通过平均曲率一次微分形式 $H_\mu = \delta^a_\mu (U_{,a} - \text{div}\,\vec{g}_a)|_{S_{X^a}}$（其中 $e^U = \sqrt{\det g_{AB}}$）推导余维数为2的曲面的截面判别准则。
• 构造表达式 $g^{bc}|_{S_{X^a}} (U_{,b} - \text{div}\,\vec{g}_b)(U_{,c} - \text{div}\,\vec{g}_c)$ 以确定 $\vec{H}$ 的因果性质，从而评估截面性。
• 在具体例子（如柱面对称时空）中验证该判别准则，测试其与已知奇点及测地线完备性的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为适用于任意余维数的截面子流形建立一个统一的几何定义？
• RQ2 在何种条件下，静态时空可以包含任何余维数的闭合截面或极限截面子流形？
• RQ3 对称性（特别是Killing向量）如何约束子流形的截面性质？
• RQ4 在一般时空中，是否存在一个普遍且可计算的判别准则，用于判断某一族余维数为2的子流形是否处于截面状态？
• RQ5 截面子流形的几何结构能否用于推广经典奇点定理？

主要发现

• 由于当 $\vec{\xi}$ 为Killing向量时，积分 $\int_S (\vec{\xi} \cdot \vec{H}) \, \boldsymbol{\eta}_S$ 恒为零，因此静态时空不可能包含任何余维数的闭合截面或极限截面子流形。
• 子流形 $S$ 仅当其为极限截面且平均曲率向量平行于类光Killing向量时，才可能位于类光Killing向量的区域中。
• 任何垂直于类时或类光Killing向量 $\vec{\xi}$ 的子流形，其平均曲率向量均与 $\vec{\xi}$ 正交，此结果由外曲率的迹导出。
• 对于余维数为2的子流形，判别准则 $g^{bc}|_{S_{X^a}} (U_{,b} - \text{div}\,\vec{g}_b)(U_{,c} - \text{div}\,\vec{g}_c)$ 可确定 $\vec{H}$ 的因果性质，从而识别截面性。
• 在 $T(t) = \sinh(at)$ 的柱面对称时空中，对某些 $t, \rho$，存在闭合截面的 $\varphi$-圆周，与时空在过去测地线不完备且存在大爆炸奇点的性质一致。
• 相反，在 $T(t) = \cosh(at)$ 的情况下，所有 $\varphi$-圆周均为绝对非截面，与测地线完备性及奇点的缺失一致。