[论文解读] Nowhere differentiable functions with respect to the position

K. Kavvadias, Konstantinos G. Makridis|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文在有界与无界域 $ \Omega \subset \mathbb{C} $ 上的有理逼近空间 $ R(\Omega) $ 中建立了函数的通用二分性：要么 $ R(\Omega) $ 中所有通用函数在 $ \partial\Omega $ 上任意位置均不可微，即差商在每个边界点处发散；要么不存在此类函数。关键结果为：此类函数的集合要么为空，要么在 $ R(\Omega) $ 中为 $ G_\delta $-稠密，该结论通过贝尔范畴理论与共形映射技术证明。

ABSTRACT

Let $Ω$ be a bounded domain in $\mathbb{C}$ such that $\partial Ω$ does not contain isolated points. Let $R(Ω)$ be the space of uniform limits on $\overlineΩ$ of rational functions with poles off $\overlineΩ$, endowed with the supremum norm. We prove that either generically all functions $f$ in $R(Ω)$ satisfy % $$ \limsup_{\substack{z o z_0 z \in \partial Ω}} \Big| \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} \Big| = + \infty $$ for every $z_0 \in \partial Ω$ or no such function in $R(Ω)$ meets this requirement. In the first case, the generic function $f \in R(Ω)$ is nowhere differentiable on $\partial Ω$ with respect to the position. We give specific examples where each case of the previous dichotomy holds. We also extend the previous result to unbounded domains.

研究动机与目标

• 研究 $ R(\Omega) $ 中函数在边界 $ \partial\Omega $ 上关于位置的可微性之通用行为。
• 确定差商 $ \left| \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \right| $ 在 $ z \to z_0 \in \partial\Omega $ 时发散的条件。
• 将实参数化下的处处不可微函数结果，从实参数推广至复位置相关的可微性。
• 建立二分性：此类函数的集合在 $ R(\Omega) $ 中为 $ G_\delta $-稠密，或为空集。
• 提供每种二分情形均成立的例子，涵盖有界与无界域。

提出的方法

• 利用贝尔范畴定理分析赋以 $ \overline{\Omega} $ 上上确界范数的巴拿赫空间 $ R(\Omega) $ 中的通用性。
• 应用共形映射 $ \phi $ 将一般域 $ \Omega $ 上的问题转化为单位圆盘 $ D $ 上的问题，同时保持解析结构。
• 通过解析函数及其导数的性质，构造序列 $ z_n \to z_0 $ 在 $ \partial\Omega $ 上，使得差商发散。
• 将集合 $ S(\Omega, J) $ 定义为满足对所有 $ z_0 \in J $ 有 $ \limsup_{z \to z_0, z \in J} \left| \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \right| = +\infty $ 的函数 $ f \in R(\Omega) $ 的集合。
• 通过空间 $ \widetilde{R}(\Omega) $ 扩展至无界域，该空间定义为在 $ \overline{\Omega} $ 的紧子集上一致收敛的有理函数列的极限，配备弗雷chet拓扑。
• 利用奥什伍德-卡拉西奥多里定理确保若尔当域的边界同胚性，从而实现从圆盘到更一般域的结果转移。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，$ R(\Omega) $ 中在每个边界点 $ z_0 \in \partial\Omega $ 处差商发散的函数集合非空？
• RQ2 此类函数集合在 $ R(\Omega) $ 中是否具有通用性？若是，其在何种拓扑意义下成立？
• RQ3 能否将关于位置的处处不可微现象，从单位圆盘推广至任意域，包括无界域？
• RQ4 是否存在某些域，尽管边界为完美集，但 $ R(\Omega) $ 中无函数表现出该发散性？
• RQ5 共形映射与解析开拓如何影响边界上的可微性行为？

主要发现

• 对于边界 $ \partial\Omega $ 不含孤立点的有界域 $ \Omega $，集合 $ S(\Omega, J) $ 要么为空，要么在 $ R(\Omega) $ 中为 $ G_\delta $-稠密，从而确立了通用二分性。
• 当 $ S(\Omega, J) $ 非空时，$ R(\Omega) $ 中的通用函数在 $ \partial\Omega $ 上关于位置处处不可微，因为差商在每个边界点处发散。
• 给出一个例子：当 $ \Omega = D \setminus [0, \frac{1}{2}] $ 时，由于解析开拓可跨越缝隙，故 $ S(\Omega, \partial\Omega) = \emptyset $，意味着导数极限有限。
• 另一例子中，当 $ \Omega = \{ z : \operatorname{Re}(z) > 0 \} \setminus [1, \infty) $ 时，同样有 $ S(\Omega, J) = \emptyset $，表明该现象在无界域中也可能不成立。
• 对于满足 $ \phi' \neq 0 $ 在边界上的若尔当域 $ \Omega $，有 $ S(\Omega, J) \neq \emptyset $，且该集合为 $ G_\delta $-稠密，从而将已知的单位圆盘结果推广。
• 通过空间 $ \widetilde{R}(\Omega) $，该结果可推广至无界域，此时相同的二分性依然成立：$ S(\Omega, J) $ 要么为空，要么在 $ \widetilde{R}(\Omega) $ 中为 $ G_\delta $-稠密。