[论文解读] NP-completeness of Partial Chirotope Extendibility

Patrick Baier|ArXiv.org|Apr 21, 2005

graph theory and CDMA systems参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文通过利用唐纳德·克努特对部分 CC-系统扩展问题的 NP-完全性证明，建立了将部分定义的奇性（chirotope）扩展为完整奇性问题的 NP-完全性。它表明该问题可归约为将有向图扩展为无旋涡（vortex-free）竞赛图的问题，而后者已知可通过 3SAT 归约证明为 NP-完全，从而证明奇性可扩展性同样是 NP-完全的。

ABSTRACT

In the monograph "Axioms and Hulls" (1992) Donald Knuth studies some axiomatizations of geometric situations. The structures described by one of the axiom systems are called CC-systems. Knuth proves that it is NP-complete to decide, whether a partially defined CC-system can be extended to a complete CC-system. The aim of this note is to show that Knuth's proof of this result also implies that it is NP-complete to decide the extendability of partially defined chirotopes.

研究动机与目标

• 阐明克努特的 CC-系统可扩展性与奇性可扩展性之间的联系。
• 确立将部分奇性扩展为完整奇性的问题为 NP-完全。
• 表明 CC-系统可扩展性的 NP-完全性可直接推出奇性问题的相同复杂度。
• 在给定公理下，形式化统一奇性与预-CC-系统之间的等价性。
• 提供一条从 3SAT 到奇性可扩展性的清晰归约路径，经由无旋涡竞赛图。

提出的方法

• 将 3SAT 问题归约为将有向图扩展为无旋涡竞赛图的问题。
• 使用克努特的 CC-系统公理，特别是公理 1–3 和 5/5′（内点性与传递性），以定义预-CC-系统。
• 通过规则：对固定点 t，若 tpq 成立，则构造竞赛图中 p→q。
• 证明预-CC-系统存在的充要条件是其关联的竞赛图为无旋涡。
• 证明 Grassmann-Plücker 关系式等价于竞赛图中不存在禁止子图（即旋涡）。
• 应用克努特关于无旋涡竞赛图扩展的 NP-完全性结果，得出奇性扩展问题的 NP-完全性结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 将部分定义的奇性扩展为完整奇性的问题是否在计算上是困难的？
• RQ2 克努特关于 CC-系统可扩展性的 NP-完全性结果是否意味着奇性问题也具有相同的复杂度？
• RQ3 能否将部分奇性的可扩展性问题归约为将有向图扩展为无旋涡竞赛图的问题？
• RQ4 Grassmann-Plücker 关系式是否在逻辑上等价于由奇性导出的竞赛图中的无旋涡条件？
• RQ5 判断一个在三元组上的部分函数能否被扩展为奇性的问题，其计算复杂度是什么？

主要发现

• 将部分奇性扩展为完整奇性的问题是 NP-完全的。
• 该 NP-完全性直接源于克努特对部分 CC-系统扩展问题的 NP-完全性证明。
• 当且仅当其关联的竞赛图为无旋涡时，部分 CC-系统才能被扩展为完整 CC-系统。
• 通过 Grassmann-Plücker 关系式与禁止子图（旋涡）的缺失，建立了统一奇性与预-CC-系统之间的等价性。
• 从 3SAT 到无旋涡竞赛图扩展的归约意味着奇性可扩展性是 NP-完全的。
• 即使将问题限制在具有公共点的三元组部分函数上，该问题仍保持 NP-完全性。