[论文解读] NP-hardness results for partitioning graphs into disjoint cliques and a triangle-free subgraph

Carl Feghali, Faisal N. Abu-Khzam+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文建立了将图的顶点划分为不相交团与无三角形子图的NP-完全性，证明即使在平面图和完美图的限制下，该问题仍具有计算上的不可解性。该结果将已知的NP-难性扩展至重要的图类，凸显了结构图划分中的固有复杂性。

ABSTRACT

This paper investigates the computational complexity of deciding whether the vertices of a graph can be partitioned into a disjoint union of cliques and a triangle-free subgraph. This problem is known to be $\NP$-complete on arbitrary graphs. We show that this problem remains $\NP$-complete even when restricted to planar graphs and perfect graphs.

研究动机与目标

• 确定将图划分为不相交团与无三角形子图的计算复杂性。
• 研究在平面性和完美性等结构限制下，该划分问题是否仍为NP-完全。
• 将图划分问题中NP-难性的理解扩展至一般图之外。
• 为涉及团与无三角形分量的特定类型图分解建立紧致的复杂性界限。

提出的方法

• 通过从已知的NP-完全问题进行归约，以在平面图和完美图约束下证明问题的难解性。
• 构造满足平面性与完美图条件的图实例，同时保持划分性质。
• 运用结构图论方法，确保构造出的图既为平面图又为完美图，同时保留划分决策问题的NP-完全性。
• 形式化证明：在构造的实例中，任何有效的团与无三角形子图的划分均对应于原NP-完全问题的解。
• 应用完美图与平面图的性质，以维持归约的正确性与完备性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平面图上，将图划分为不相交团与无三角形子图的问题是否为NP-完全？
• RQ2 当限制在完美图上时，该划分问题的NP-完全性是否仍然成立？
• RQ3 能否通过保持平面性与完美性等结构约束的归约方法，证明该划分问题的NP-难性？
• RQ4 在结构良好的图类中，该划分问题的计算复杂性如何？

主要发现

• 在一般图上，将图划分为不相交团与无三角形子图的问题是NP-完全的。
• 当限制在平面图上时，该问题仍为NP-完全，表明平面性并未简化问题。
• 在完美图上，该问题同样为NP-完全，表明完美性并未降低计算难度。
• 在结构约束下，NP-完全性得以保持，表明此类图分解具有固有的困难性。