[论文解读] nPINNs: nonlocal Physics-Informed Neural Networks for a parametrized nonlocal universal Laplacian operator. Algorithms and Applications

Guofei Pang, Marta D’Elia+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2020

Model Reduction and Neural Networks被引用 13

一句话总结

本文提出非局部物理信息神经网络（nPINNs）以推断非局部积分算子中的参数和函数，包括统一的非局部拉普拉斯算子，该算子广义化了经典拉普拉斯算子与分数阶拉普拉斯算子。该方法实现了对相互作用半径δ与阶数α的联合推断，揭示了湍流中的普遍标度行为，并通过数值收敛性和求积法验证了其准确性。

ABSTRACT

Physics-informed neural networks (PINNs) are effective in solving inverse problems based on differential and integral equations with sparse, noisy, unstructured, and multi-fidelity data. PINNs incorporate all available information into a loss function, thus recasting the original problem into an optimization problem. In this paper, we extend PINNs to parameter and function inference for integral equations such as nonlocal Poisson and nonlocal turbulence models, and we refer to them as nonlocal PINNs (nPINNs). The contribution of the paper is three-fold. First, we propose a unified nonlocal operator, which converges to the classical Laplacian as one of the operator parameters, the nonlocal interaction radius $δ$ goes to zero, and to the fractional Laplacian as $δ$ goes to infinity. This universal operator forms a super-set of classical Laplacian and fractional Laplacian operators and, thus, has the potential to fit a broad spectrum of data sets. We provide theoretical convergence rates with respect to $δ$ and verify them via numerical experiments. Second, we use nPINNs to estimate the two parameters, $δ$ and $α$. The strong non-convexity of the loss function yielding multiple (good) local minima reveals the occurrence of the operator mimicking phenomenon: different pairs of estimated parameters could produce multiple solutions of comparable accuracy. Third, we propose another nonlocal operator with spatially variable order $α(y)$, which is more suitable for modeling turbulent Couette flow. Our results show that nPINNs can jointly infer this function as well as $δ$. Also, these parameters exhibit a universal behavior with respect to the Reynolds number, a finding that contributes to our understanding of nonlocal interactions in wall-bounded turbulence.

研究动机与目标

• 开发一种物理信息框架，用于识别非局部积分方程中的未知参数，特别是针对非局部泊松方程与湍流模型。
• 提出一种统一的非局部拉普拉斯算子，当δ → 0时退化为经典拉普拉斯算子，当δ → ∞时退化为分数阶拉普拉斯算子。
• 利用在稀疏、噪声大且多保真度数据上训练的神经网络，实现对非局部算子中相互作用半径δ与阶数α的联合推断。
• 研究算子模仿现象，即由于损失函数具有强非凸性，多个参数对可产生相近的解精度。
• 将框架扩展至空间可变阶数α(y)，用于建模复杂湍流流动（如库埃特流），并识别雷诺数相关的普遍行为。

提出的方法

• 本文引入一个带有参数δ（相互作用半径）和α（阶数）的参数化非局部拉普拉斯算子，当δ → 0时收敛至经典拉普拉斯算子，当δ → ∞时收敛至分数阶拉普拉斯算子。
• 该方法采用物理信息神经网络（PINNs）最小化损失函数，该函数结合了控制非局部PDE的残差项、初始/边界条件以及观测数据。
• 采用复合高斯-勒让德求积方案来近似非局部积分算子，通过自适应子积分与高阶求积点确保精度。
• 该框架允许通过单一损失函数联合训练神经网络，以推断δ与α，以及空间可变的α(y)，并融合物理定律与观测数据。
• 推导并数值验证了统一算子相对于δ的理论收敛速率，结果与分析预期一致。
• 该方法在基准问题上进行了测试，包括非局部泊松方程与湍流库埃特流，通过Sobol序列采样与相对误差指标评估了求积法的准确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个统一的非局部拉普拉斯算子，通过单一参数δ平滑插值经典拉普拉斯算子与分数阶拉普拉斯算子？其在δ变化时的收敛性质如何？
• RQ2 nPINNs在稀疏、噪声大且非结构化数据下，对非局部算子的两个关键参数δ与α的推断精度如何？
• RQ3 nPINNs的损失函数是否因算子模仿现象而出现多个局部极小值？这对参数可识别性有何影响？
• RQ4 nPINNs能否扩展至推断空间可变算子阶数α(y)，特别是在库埃特流等复杂湍流流动中？
• RQ5 在壁面约束湍流中，推断的参数δ与α(y)是否与雷诺数存在普遍标度关系？

主要发现

• 所提出的统一非局部拉普拉斯算子在δ → 0时收敛至经典拉普拉斯算子，在δ → ∞时收敛至分数阶拉普拉斯算子，其理论收敛速率经数值验证与分析预期一致。
• nPINNs成功从稀疏且含噪声的数据中推断出δ与α，表现出算子模仿现象：由于损失函数具有强非凸性，多个参数对可产生相近的解精度。
• 通过1D、2D与3D测试函数的数值实验验证了求积法的准确性，结果显示相对误差随子积分数量与求积点数的增加而减小。
• 该框架成功推断出湍流库埃特流中空间可变的α(y)，揭示了δ与α(y)对雷诺数的普遍依赖关系。
• 推断的参数在不同雷诺数下表现出一致的标度行为，表明壁面约束湍流中存在普遍的非局部相互作用机制。