[论文解读] NSS and TAP properties in topological groups close to being compact

Dikran Dikranjan, Dmitri Shakhmatov+1 more|ArXiv.org|Sep 12, 2009

Advanced Topology and Set Theory参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文研究了在接近紧致性的拓扑群中 TAP（完全柯西可积）与 NSS（无小子群）性质，证明了在局部紧致、ω-有界阿贝尔群以及可数紧致极小阿贝尔群中，TAP 与 NSS 性质一致。通过在紧致群内构造一个非 TAP 子群，该文以否定方式回答了一个问题，表明即使在阿贝尔情形下，TAP 也不蕴含 NSS。

ABSTRACT

We introduce a notion of productivity (summability) of sequences in a topological group G, parametrized by a given function f : N --> omega+1. The extreme case when f is the function taking constant value omega is closely related to the TAP property, the weaker version of the well-known property NSS. We prove that TAP property coincides with NSS in locally compact groups, omega-bounded abelian groups and countably compact minimal abelian groups. As an application of our results, we provide a negative answer to [13, Question 11.1].

研究动机与目标

• 澄清接近紧致性的拓扑群中 TAP 与 NSS 性质之间的关系。
• 研究在具有紧致类性质的拓扑群中，TAP 是否蕴含 NSS，特别是在阿贝尔群和极小群中的情况。
• 为文献 [13] 中的问题 11.1 提供否定答案，该问题询问在极小阿贝尔群中 TAP 是否蕴含 NSS。
• 构造 TAP 不蕴含 NSS 的群的例子，即使在阿贝尔情形下亦如此。
• 通过参数化函数探索拓扑群中序列的可积性，特别关注与 TAP 相关的 f_ω 情况。

提出的方法

• 引入使用函数 f: ℕ → ω+1 的参数化序列可积性概念，其中 f_ω 对应该 TAP。
• 定义柯西可积序列与可积序列，并在序列魏尔完备群中建立其与收敛性的等价性。
• 利用 f_ω-可积性概念，将 TAP 群表征为所有 f_ω-可积序列均收敛的群。
• 通过使用三重不相交支撑族，构造一个在紧致阿贝尔群 K_P 内的稠密、非完备、非 TAP 子群 H_P。
• 应用拓扑与代数工具，如投影、群完备化及拓扑同构，分析子群结构。
• 利用关于玻尔拓扑与预紧群拓扑的已知结果，在阿贝尔群上构造非离散的 TAP 群拓扑。

实验结果

研究问题

• RQ1 TAP 与 NSS 是否在局部紧致拓扑群中一致？
• RQ2 TAP 性质是否等价于 ω-有界阿贝尔群中的 NSS 性质？
• RQ3 在可数紧致极小阿贝尔群中，TAP 性质是否蕴含 NSS 性质？
• RQ4 能否在紧致阿贝尔群内部存在一个非 TAP 子群，从而表明 TAP 在一般情况下不蕴含 NSS？
• RQ5 每个阿贝尔群是否都存在一个非离散、预紧的 TAP 群拓扑？

主要发现

• 在局部紧致拓扑群中，TAP 与 NSS 一致，解决了该类群中二者等价性的关键问题。
• TAP 与 NSS 同样在 ω-有界阿贝尔群及可数紧致极小阿贝尔群中一致。
• 本文构造了一个紧致阿贝尔群 K_P 的真稠密子群 H_P，其非 TAP，从而为 [13, 问题 11.1] 提供了否定答案。
• H_P 不完备，且不包含与两个非平凡拓扑群的积拓扑同构的子群。
• 每个阿贝尔群都存在一个预紧的 TAP 群拓扑，且此类拓扑可被选为非离散且可度量化的。
• 无限阿贝尔群上的玻尔拓扑是 TAP 的，且不包含非平凡的收敛序列，这意味着不存在非平凡的 f_1-柯西可积序列。