[论文解读] Nuclear spin-lattice relaxation from fractional wobbling in a cone

A.E. Sitnitsky|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2011

Material Dynamics and Properties参考文献 38被引用 3

一句话总结

本文针对受限转动运动（特别是锥形摆动）系统中的核自旋-晶格弛豫，提出了一种分数阶扩散模型，采用分数阶福克-普朗克方程进行描述。该研究将Bloemberger-Purcell-Pound-Solomon（BPP-Solomon）理论框架扩展至异常亚扩散行为，表明该模型能自然再现实验观测到的弛豫率与拉莫频率之间的幂律依赖关系，其中分数阶指数控制着偏离正常扩散行为的程度。

ABSTRACT

We consider nuclear spin-lattice relaxation rate resulted from a fractional diffusion equation for anomalous rotational wobbling in a cone. The mechanism of relaxation is assumed to be due to dipole-dipole interaction of nuclear spins and is treated within the framework of the standard Bloemberger, Purcell, Pound - Solomon scheme. We consider the general case of arbitrary orientation of the cone axis relative the magnetic field. The BPP-Solomon scheme is shown to remain valid for systems with the distribution of the cone axes depending only on the tilt relative the magnetic field but otherwise being isotropic. We consider the case of random isotropic orientation of cone axes relative the magnetic field taking place in powders. Also we consider the case of their predominant orientation along or opposite the magnetic field and that of their predominant orientation transverse to the magnetic field which may be relevant for, e.g., liquid crystals. Besides we treat in details the model case of the cone axis directed along the magnetic field. The latter provides direct comparison of the limiting case of our formulas with the textbook formulas for ordinary isotropic rotational diffusion. We show that the present model enables one to obtain naturally the well known power law for Larmor frequency dependence of the spin-lattice relaxation rate. The latter is observed in some complex systems. From this law the dependence of the fractional diffusion coefficient on the fractional index is obtained to have a rather simple functional form. The dependence of the spin-lattice relaxation rate on the cone half-width for the case of ordinary rotational diffusion yields results similar to those predicted by the model-free approach.

研究动机与目标

• 将自旋-晶格弛豫的BPP-Solomon理论扩展至表现出异常旋转扩散的系统。
• 为在分数阶锥形摆动下（特别是锥轴相对于磁场方向任意取向）的核自旋-晶格弛豫建立形式化理论框架。
• 在分数阶模型的极限情况（$\alpha = 1$）下，恢复普通各向同性扩散的已知结果。
• 提供一种现象学但解析可处理的框架，以捕捉蛋白质和液晶等复杂系统中观测到的幂律弛豫行为。

提出的方法

• 构建一个分数阶扩散方程（FDE），其时间导数阶数为$\alpha$（$0 < \alpha \leq 1$），用于描述锥形内的异常旋转扩散。
• 应用标准的BPP-Solomon方案进行偶极-偶极弛豫，结合由FDE导出的分数阶相关函数。
• 考虑一般锥轴取向：各向同性粉末状分布、沿磁场方向或垂直于磁场方向的取向，以及轴向对齐的特殊情况。
• 采用Wang和Pecora的锥形摆动模型，求解分数阶动力学下的角度分布函数。
• 通过在锥角分布上积分，利用关联勒让德函数和狄拉克δ函数，推导出谱密度函数和弛豫率，适用于特定情形。
• 通过验证$\alpha = 1$极限情形下可恢复各向同性旋转扩散的教科书结果，对模型进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 BPP-Solomon弛豫方案能否在锥形内具有分数阶（异常）旋转扩散的系统中一致地扩展？
• RQ2 分数阶锥形摆动模型是否能自然再现实验观测到的自旋-晶格弛豫率与拉莫频率之间的幂律依赖关系？
• RQ3 在亚扩散区域，弛豫率如何依赖于锥角半角和分数阶指数$\alpha$？
• RQ4 在各向同性旋转极限（$\theta_0 \to \pi$）下，弛豫率的行为如何？是否能恢复标准结果？
• RQ5 该模型在不同锥轴取向分布下（包括轴向对齐和横向取向）的表现如何？

主要发现

• 该模型成功再现了复杂系统（如蛋白质）中观测到的自旋-晶格弛豫率与拉莫频率之间的著名幂律依赖关系，即$R_1 \propto \omega^{-\alpha}$（$\alpha < 1$）。
• 发现分数阶扩散系数通过一个简单的函数形式依赖于分数阶指数$\alpha$，从而可直接与实验数据进行比较。
• 当锥轴与磁场方向对齐时，若$\alpha = 1$，该模型精确还原为标准各向同性旋转扩散结果，证实了与已有理论的一致性。
• 在普通扩散极限（$\alpha = 1$）下，弛豫率对锥角半角$\theta_0$的依赖关系与模型自由方法的预测一致。
• 只要分布仅依赖于倾斜角且其余方向各向同性，该形式化理论对锥轴相对于磁场方向的任意取向均保持有效。
• 该模型提供了一个统一的、现象学的框架，通过单一参数$\alpha$在正常扩散与异常扩散之间实现插值，而无需引入相关时间的分布。