[论文解读] Nuclearity of semigroup C*-algebras

Astrid an Huef, Brita E. A. Nucinkis+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2019

Advanced Operator Algebra Research参考文献 29被引用 3

一句话总结

该论文通过引入进入阿贝尔群的受控映射的新定义，建立了与弱拟格序群相关联的半群C*-代数的核性。关键结果表明：若存在一个受控映射 μ: (G,P) → (K,Q)，其中 K 为阿贝尔群，且 C*(ker μ, ker μ ∩ P) 核性成立，则 C*(G,P) 为核性代数。该方法利用共作用下的不动点代数及条件期望的忠实性，将先前结果推广至包括 Baumslag–Solitar 半群和阿贝尔弱拟格的图积在内的单关系半群。

ABSTRACT

We study the semigroup C*-algebra of a positive cone P of a weakly quasi-lattice ordered group. That is, P is a subsemigroup of a discrete group G with P\cap P^{-1}=\{e\} and such that any two elements of P with a common upper bound in P also have a least upper bound. We find sufficient conditions for the semigroup C*-algebra of P to be nuclear. These conditions involve the idea of a generalised length function, called a "controlled map", into an amenable group. Here we give a new definition of a controlled map and discuss examples from different sources. We apply our main result to establish nuclearity for semigroup C*-algebras of a class of one-relator semigroups, motivated by a recent work of Li, Omland and Spielberg. This includes all the Baumslag--Solitar semigroups. We also analyse semidirect products of weakly quasi-lattice ordered groups and use our theorem in examples to prove nuclearity of the semigroup C*-algebra. Moreover, we prove that the graph product of weak quasi-lattices is again a weak quasi-lattice, and show that the corresponding semigroup C*-algebra is nuclear when the underlying groups are amenable.

研究动机与目标

• 将半群C*-代数的核性结果从拟格序推广至弱拟格序群。
• 解决半群中无限递减链（如含负关系的 Baumslag–Solitar 半群）带来的挑战。
• 将受控映射的概念推广至包含正锥上非平凡核的情形，从而建立新的核性判据。
• 将新框架应用于证明单关系半群、半直积及弱拟格图积的核性。
• 通过边界商与现有分类定理，建立核性与K-理论分类之间的联系。

提出的方法

• 提出受控映射的新定义（定义3.6），允许在正锥上存在非平凡核，以容纳无限递减链。
• 利用受控映射 μ 在 C*(G,P) 上诱导出 K 的共作用，从而得到不动点代数 C*(G,P)δμ。
• 通过证明与映射 μ 相关的子空间上的 Toeplitz 表示的忠实性，证明不动点代数为核性代数。
• 通过一系列条件期望及忠实性论证，建立条件期望 E: C*(G,P) → span{wpw* : p ∈ P} 的忠实性。
• 应用 [29, 推论 2.17]，得出若不动点代数为核性代数且 K 为阿贝尔群，则 C*(G,P) 为核性代数。
• 利用新受控映射框架分析弱拟格的半直积与图积，在阿贝尔性假设下证明其核性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在正锥中存在无限递减链的弱拟格序群上建立半群C*-代数的核性？
• RQ2 新受控映射定义是否可使核性结果超越先前受控映射框架的适用范围？
• RQ3 新框架能否证明单关系半群（如含负关系的 Baumslag–Solitar 半群）的核性？
• RQ4 在何种条件下，阿贝尔群共作用下的不动点代数为核性代数？其如何蕴含原C*-代数的核性？
• RQ5 弱拟格的图积是否仍为弱拟格？其对应的半群C*-代数在何种条件下为核性？

主要发现

• 若存在受控映射 μ: (G,P) → (K,Q)，其中 K 为阿贝尔群且 C*(ker μ, ker μ ∩ P) 为核性代数，则半群C*-代数 C*(G,P) 为核性代数。
• 新受控映射定义包含了含负关系的 Baumslag–Solitar 半群（如 BS(c, -d)+）上的高度映射，这些情形在先前的受控映射定义中未被覆盖。
• 在新框架下，所有 Baumslag–Solitar 半群（包括含负关系者）的半群C*-代数均为核性代数。
• 当底层群为阿贝尔群时，弱拟格的图积仍为弱拟格，且其对应的半群C*-代数为核性代数。
• 在满足受控映射条件且核代数为核性代数时，弱拟格序群的半直积可产生核性半群C*-代数。
• 若共作用下的不动点代数为核性代数且群 K 为阿贝尔群，则条件期望 E: C*(G,P) → span{wpw* : p ∈ P} 为忠实的，这是证明核性的关键步骤。