[论文解读] Nuclei and exotic 4-manifolds

Kouichi Yasui|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 26被引用 10

一句话总结

本文引入了4-流形中Gompf核的一般化概念，利用相对亏格函数和cork扭转构造了具有边界的紧致4-流形上无穷多个微分同胚结构。证明了包括Stein可填充型在内的大量3-流形边界均具有无穷多个非微分同胚的光滑结构，并构造了微分同胚但非微分同胚的Stein与非Stein 4-流形。

ABSTRACT

We introduce a new generalization of Gompf nuclei and give applications. We construct infinitely many exotic smooth structures for a large class of compact 4-manifolds with boundary, regarding topological invariants. We prove that a large class of closed 3-manifolds (including disjoint unions of Stein fillable 3-manifolds) bound compact connected oriented 4-manifolds which admit infinitely many smooth structures. To detect smooth structures, we introduce a relative genus function. As a side result, we show that log transform and knot surgery of 4-manifolds do not admit any Stein structure, under a mild condition. Applying these results together with corks, we construct arbitrary many compact Stein 4-manifolds and infinitely many non-Stein 4-manifolds which are all homeomorphic but mutually non-diffeomorphic.

研究动机与目标

• 将奇异光滑结构理论从闭4-流形推广至具有边界的紧致4-流形。
• 解决非闭情形下检测光滑结构的有效不变量缺乏的问题。
• 确定大类3-流形是否边界为具有无穷多个不同光滑结构的4-流形。
• 利用cork扭转和胞腔复形技术，构造微分同胚但非微分同胚的Stein与非Stein 4-流形。

提出的方法

• 引入一种新的Gompf核广义形式，其包含一个尖点邻域，从而可在非闭4-流形中构造奇异结构。
• 在温和的拓扑条件下，应用对数变换和纽结手术操作以生成新的光滑结构。
• 定义相对亏格函数以检测光滑结构，规避了相对Seiberg-Witten或Ozsváth-Szabó不变量的局限性。
• 利用cork扭转产生微分同胚但非微分同胚的4-流形，同时保持同调群与交形式等拓扑不变量。
• 采用Legendrian胞腔复形技术与胞腔滑动，规范化核嵌入，同时保持Stein结构。
• 将构造出的4-流形嵌入到具有非零Seiberg-Witten不变量的闭对称4-流形中，以应用定理1.1并检测奇异光滑结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在给定一个核且其嵌入到具有非零Seiberg-Witten不变量的闭4-流形中时，能否在具有边界的紧致4-流形上构造出无穷多个奇异光滑结构？
• RQ2 所有Stein可填充3-流形是否都边界为具有无穷多个不同光滑结构的紧致4-流形？
• RQ3 能否构造出微分同胚但非微分同胚的Stein与非Stein 4-流形，且其基本群与交形式为预设值？
• RQ4 在何种条件下，对数变换与纽结手术无法在4-流形中产生Stein结构？
• RQ5 相对亏格函数是否能在具有边界的紧致4-流形设定中有效检测光滑结构？

主要发现

• 对于任何包含核且可嵌入到满足$b_2^+ > 1$且Seiberg-Witten不变量非零的闭4-流形中的具有边界的紧致4-流形，均存在无穷多个彼此微分同胚但相互非微分同胚的光滑4-流形。
• 每个Stein可填充3-流形（包括此类流形的不相交并集）都边界为一个紧致4-流形，该4-流形具有无穷多个不同的光滑结构。
• 对任意有限生成群$G$，存在任意多个微分同胚但非微分同胚的紧致Stein 4-流形，以及无穷多个非Stein 4-流形，其基本群同构于$G$。
• 对任意整系数对称双线性型$Q$与无量纲不定型$R$，存在任意多个单连通的紧致Stein 4-流形，以及无穷多个非Stein 4-流形，其交形式同构于$Q \oplus R$，且彼此微分同胚但非微分同胚。
• 在温和条件下，对数变换与纽结手术无法产生任何Stein结构，从而为这些手术后Stein结构的不存在性提供了非存在性结果。
• 相对亏格函数在具有边界的紧致4-流形设定中成功检测了光滑结构，为该情境下相对Seiberg-Witten不变量提供了一种可行的替代方案。