[论文解读] Null controllability of a population dynamics with interior degeneracy

Idriss Boutaayamou, Younes Echarroudi|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 15被引用 10

一句话总结

本文建立了具有内部退化扩散系数的种群动力学模型的零可控性，其中退化发生在控制区域内的某一点。通过为伴随系统推导出一种新颖的Carleman估计，作者得到了一个可观测性不等式，使得即使在繁殖率的正则性要求较低的情况下，也能在任意短的时间内实现种群灭绝。

ABSTRACT

In this paper, we deal with the null controllability of a population dynamics model with an interior degenerate diffusion. To this end, we proved first a new Carleman estimate for the full adjoint system and afterwards we deduce a suitable observability inequality which will be needed to establish the existence of a control acting on a subset of the space which lead the population to extinction in a finite time.

研究动机与目标

• 解决先前工作要求控制时间 $ T \geq A $ 的局限性，该限制使得长寿命种群的实际应用受到限制。
• 为在控制区域 $ \omega $ 内某一点 $ x_0 $ 处扩散系数 $ k(x) $ 发生内部退化的种群动力学模型建立零可控性。
• 在任意小的时间 $ T \in (0, \delta) $ 内实现灭绝，其中 $ \delta < A $，从而克服先前的时间约束。
• 放松对繁殖率 $ \beta $ 的正则性假设，仅要求 $ \beta \in L^\infty $，而非早期固定点方法中所需的 $ C^2 $。
• 为具有非均匀扩散特性的基因型结构种群提供一种可构造的控制框架，对害虫防治和基因管理具有实际意义。

提出的方法

• 为具有内部退化（位于 $ x_0 \in \omega $）的退化种群模型的完整伴随系统推导出一种新的Carleman估计。
• 利用该Carleman估计证明伴随系统的可观测性不等式，该不等式将解的能量与其在控制区域 $ \omega $ 上的观测值联系起来。
• 通过原系统与其伴随系统之间的对偶性论证，将零可控性问题转化为可观测性不等式。
• 采用变分法和弱紧致性论证，提取近似解与控制序列的收敛子列。
• 使用Caccioppoli型不等式（引理4.1）控制Carleman估计中的梯度项，依赖于截断函数和加权能量估计。
• 验证近似解收敛于满足零可控性条件 $ y(T, \cdot, \cdot) = 0 $ a.e. on $ (\delta, A) \times (0,1) $ 的真实解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在任意短的时间内实现具有内部退化的种群动力学模型的零可控性？
• RQ2 如何将Carleman估计适配于扩散系数 $ k(x) $ 在控制区域内某一点处消失的退化情形？
• RQ3 在退化情形下，确保零可控性的繁殖率 $ \beta $ 的正则性假设应满足何种条件？
• RQ4 在内部退化和最小控制时间条件下，能否为完整伴随系统推导出可观测性不等式？
• RQ5 退化结构 $ k(x) = |x - x_0|^\alpha $ 如何影响系统的可控性特性？

主要发现

• 作者为退化种群模型的完整伴随系统证明了一种新的Carleman估计，该估计在内部退化条件下依然有效。
• 为伴随系统建立了可观测性不等式，这是证明小控制时间下零可控性的关键。
• 对于任意 $ T \in (0, \delta) $ 且 $ \delta < A $，均实现了零可控性，意味着种群可在任意短的时间内灭绝。
• 控制 $ \vartheta \in L^2(q) $ 存在，并满足估计 $ \|\vartheta\|_{L^2(q)}^2 \leq \frac{4C_\delta}{3} \|y_0\|_{L^2(Q_A)}^2 $，表明其对初始数据具有统一依赖性。
• 系统解 $ y $ 满足 $ \|y(T, \cdot, \cdot)\|_{L^2((\delta,A)\times(0,1))}^2 \leq \varepsilon C_\delta \|y_0\|_{L^2(Q_A)}^2 $，意味着对年龄 $ a > \delta $ 的种群实现灭绝。
• 该结果在 $ \beta $ 的正则性要求最低时仍成立，具体为 $ \beta \in L^\infty(Q) $，优于以往所需的 $ C^2 $ 假设。