[论文解读] Null-controllability of evolution equations associated with fractional Shubin operators through quantitative Agmon estimates

Paul Alphonse|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 30被引用 4

一句话总结

该论文通过定量 Agmon 估计和 Gelfand-Shilov 正则性，建立了在 $\mathbb{R}^n$ 上由分数阶各向异性 Shubin 算子驱动的演化方程的零可控性。证明了当 $2sm > 1$ 时，此类方程在任意正时间均可从稠密控制支撑集实现零可控性，且相关半群在 Gelfand-Shilov 空间中具有精确的光滑性估计，推广了分数阶谐振子的已知结果。

ABSTRACT

We consider the anisotropic Shubin operators $(-Δ)^m + \vert x\vert^{2k}$ acting on the space $L^2(\mathbb R^n)$, with $k, m \geq1$ some positive integers. We provide sharp quantitative estimates in Gelfand-Shilov spaces for the eigenfunctions of these selfadjoint differential operators, that is, exponential decay estimates both for these functions and their Fourier transforms in $L^2(\mathbb R^n)$. The strategy implemented is based on the classical approach to obtain Agmon estimates in spectral theory. By using a Weyl law for the eigenvalues of the anisotropic Shubin operators, we also describe the smoothing properties of the semigroups generated by the fractional powers of these operators, with precise estimates in short times. This description allows us to prove positive null-controllability results for the associated evolution equations posed on the whole space $\mathbb R^n$, from control supports which are thick with respect to densities and in any positive time. We generalize in particular results known for the evolution equations associated with fractional harmonic oscillators.

研究动机与目标

• 建立全空间 $\ mathbb{R}^n$ 上与分数阶各向异性 Shubin 算子相关的演化方程的零可控性。
• 利用 Gelfand-Shilov 正则性分析由这些算子的分数阶幂生成的半群的光滑性质。
• 将已知的分数阶谐振子零可控性结果推广到更一般的各向异性 Shubin 算子类。
• 刻画确保零可控性的控制支撑集的最小几何条件，特别是稠密性与厚度条件。
• 通过谱理论和 Weyl 公式，推导解在短时间内的正则性精确定量估计。

提出的方法

• 利用谱理论和泛函演算，推导各向异性 Shubin 算子特征函数的精确定量 Agmon 型估计。
• 应用 $H_{k,m} = (-\Delta)^m + |x|^{2k}$ 的特征值 Weyl 公式，描述半群 $e^{-tH^s_{k,m}}$ 的短时间光滑行为。
• 证明 $e^{-tH^s_{k,m}}g$ 属于 Gelfand-Shilov 空间 $S^{ u_{s,k,m}}_{ u_{s,k,m}}(\mathbb{R}^n)$，其中显式给出指数 $\nu_{s,k,m} = \max\left(\frac{1}{2sk}, \frac{m}{k+m}\right)$ 和 $\mu_{s,k,m} = \max\left(\frac{1}{2sm}, \frac{k}{k+m}\right)$。
• 采用截断函数方法结合 Weyl 量化，证明算子 $\chi_j^w$ 在 $L^2$ 中收敛于恒等算子，并通过符号演算控制换位子范数。
• 应用 Calderón-Vaillancourt 定理的定量版本，统一有界地控制算子范数关于截断参数 $j$ 的依赖性，确保收敛的稳定性。
• 结合这些估计与对偶性论证及 Carleman 不等式，证明在条件 $2sm > 1$ 下，从稠密控制支撑集可实现零可控性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何与分析条件下，演化方程 $\partial_t f + H^s_{k,m}f = h\mathbbm{1}_\omega$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上是零可控的？
• RQ2 分数阶各向异性 Shubin 算子的半群 $e^{-tH^s_{k,m}}$ 的精确 Gelfand-Shilov 正则性性质为何？
• RQ3 短时间下 $H^s_{k,m}$ 的光滑效应如何依赖于参数 $s$、$k$ 和 $m$？
• RQ4 能否在密度意义下对控制支撑集（特别是 $k=m=l$ 的各向同性情形）建立零可控性？
• RQ5 当 $k=m=1$ 时，零可控性的精确阈值参数 $s$ 是什么？

主要发现

• 对所有 $t > 0$，半群 $e^{-tH^s_{k,m}}$ 将 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 映射到 Gelfand-Shilov 空间 $S^{ u_{s,k,m}}_{ u_{s,k,m}}(\mathbb{R}^n)$，其中 $\nu_{s,k,m} = \max\left(\frac{1}{2sk}, \frac{m}{k+m}\right)$ 且 $\mu_{s,k,m} = \max\left(\frac{1}{2sm}, \frac{k}{k+m}\right)$。
• 在短时间 $0 < t \ll 1$ 下，半群在 Gelfand-Shilov 范数下表现出定量光滑性，且对 $\|x^\alpha \partial^\beta_x e^{-tH^s_{k,m}}g\|_{L^2}$ 给出显式衰减估计。
• 当 $2sm > 1$ 时，对任意正时间 $T > 0$，只要控制支撑集 $\omega \subset \mathbb{R}^n$ 是稠密的（按 [18, 41] 定义），零可控性成立。
• 在各向同性情形 $k = m = l$ 下，零可控性可由关于密度的稠密控制支撑集实现，推广了 [32] 的结果至分数阶 Shubin 算子。
• 在特殊情形 $k = m = 1$ 且 $s > 1$ 时，只要控制支撑集 $\omega$ 可测且具有正勒贝格测度，无论其几何厚度如何，零可控性均成立。
• 该论文将已知的分数阶谐振子（$H^s_{1,1}$）零可控性结果推广至更广泛的各向异性 Shubin 算子类，基于 Agmon 估计与谱理论，提供了一个统一的理论框架。