[论文解读] Null-controllability of linear hyperbolic systems in one dimensional space

Jean‐Michel Coron, Hoài-Minh Nguyên|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 31被引用 28

一句话总结

本文在不假设系统矩阵 $C$ 为通用矩阵的前提下，证明了一维线性双曲系统在任意时间 $T > T_{\text{opt}}$ 下的零可控性，且在一般边界条件下成立。通过背步变换与希尔伯特唯一性方法，作者证明了当 $k \geq m \geq 1$ 且边界矩阵 $B$ 满足其尾部子矩阵的秩条件时，对所有 $T > T_{\text{opt}}$ 均有零可控性，扩展了以往需假设 $C$ 为通用矩阵或 $m = k$ 的结果。该结果是精确的，并可推广至精确可控性。

ABSTRACT

This paper is devoted to the controllability of a general linear hyperbolic system in one space dimension using boundary controls on one side. Under precise and generic assumptions on the boundary conditions on the other side, we previously established the optimal time for the null and the exact controllability for this system for a generic source term. In this work, we prove the null-controllability for any time greater than the optimal time and for any source term. Similar results for the exact controllability are also discussed.

研究动机与目标

• 建立一维空间中具有单侧边界控制的一般线性双曲系统的零可控性。
• 消除以往工作中在最优时间零可控性所需对矩阵 $C$ 的通用性假设。
• 在边界矩阵 $B$ 满足精确结构条件的前提下，将零可控性结果推广至所有 $T > T_{\text{opt}}$，且适用于任意源项。
• 通过紧致性与特征线方法，为 $L^2$ 框架下的零可控性与精确可控性结果提供统一框架。
• 推广先前仅适用于 $m = k$ 或特定反馈结构的结果。

提出的方法

• 应用背步变换，将原系统转化为具有解耦动力学与紧致核的目标系统。
• 利用希尔伯特唯一性方法（HUM）通过对偶性推导控制，并求解相关伴随系统。
• 采用特征线法分析奇异性传播，并推导伴随系统解的衰减估计。
• 建立伴随系统解算子的有限维值域性质，从而支持紧致性论证。
• 通过反证法与谱分析证明解算子的单射性，确保可控性。
• 通过时间反演与对偶性，将结果从零可控性推广至精确可控性，利用最优时间 $T_{\text{opt}}$ 的对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可在不假设矩阵 $C$ 为通用矩阵的前提下，对所有 $T > T_{\text{opt}}$ 实现零可控性？
• RQ2 当 $k \geq m$ 时，边界矩阵 $B$ 需满足何种结构条件，才能保证 $T > T_{\text{opt}}$ 下的零可控性？
• RQ3 当 $m < k$ 时，最优时间 $T_{\text{opt}}$ 对于零可控性是否为精确的？
• RQ4 零可控性结果能否推广至 $T > T_{\text{opt}}$ 下的精确可控性？
• RQ5 背步法与特征线法如何协同作用，以确保在 $L^2$ 框架下的可控性？

主要发现

• 当 $B \in \mathcal{B}$ 时，系统对任意 $T > T_{\text{opt}}$ 均为零可控，其中 $\mathcal{B}$ 是满足对所有 $1 \leq i \leq \min\{k, m-1\}$，其 $i \times i$ 尾部子矩阵可逆的矩阵集合。
• 该结果对任意 $C \in [L^\infty(0,1)]^{n \times n}$ 成立，消除了以往工作对 $C$ 通用性假设的依赖。
• 当 $m = k$ 时，该结果可由文献 [15] 中的精确可控性结果推出，且在相同 $B$ 条件下，本文将其推广至 $m < k$ 的情形。
• 最优时间 $T_{\text{opt}}$ 是精确的：当 $m = 2$，$k \geq 2$ 时，如文献 [11] 所示，对某些 $\Sigma$、$B$ 和 $C$ 的选择，系统在 $T = T_{\text{opt}}$ 处不具零可控性。
• 通过时间反演与对偶性，利用相同的 $B$ 条件，证明了在任意 $T > T_{\text{opt}}$ 下的精确可控性。
• 证明依赖于紧致性论证与特征线法，表明伴随系统在迹为零时唯一解为零解，从而推出解算子的值域为稠密。