[论文解读] Null holomorphic curves in $\mathbb C^3$ and the conformal Calabi-Yau problem

Antonio Alarcón, Franc Forstnerič|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2013

Holomorphic and Operator Theory参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文通過使用針對零曲線的 Runge-Mergelyan 型逼近定理以及一種新型的喷射映射黏合方法，證明了在 ℂ³ 中存在具有任意拓撲結構的完全、正則浸入的零全純曲線。主要結果為在 ℂ³ 中構造出完全有界的零曲線，解決了共形 Calabi-Yau 問題中的一個長期懸而未決的問題，並推廣至 ℝ³ 中的極小曲面以及 ℍ³ 中的 Bryant 曲面。

ABSTRACT

In this paper we survey some recent contributions by the authors to the theory of null holomorphic curves in the complex Euclidean space $\mathbb C^3$, as well as their applications to null holomorphic curves in the special linear group $SL_2(\mathbb C)$, minimal surfaces in the Euclidean space $\mathbb R^3$, and constant mean curvature one surfaces (Bryant surfaces) in the hyperbolic 3-space $\mathbb H^3$. The paper is an expanded version of the lecture given by the second named author at the Abel Symposium in Trondheim, Norway, in July 2013.

研究动机与目标

• 透過構造具有任意拓撲結構的完全、正則浸入零全純曲線，解決 ℂ³ 中零全純曲線的共形 Calabi-Yau 問題。
• 將零曲線理論推廣至包含 ℂ³ 中有界且完全的浸入，解決了極小曲面理論中長期懸而未決的問題。
• 建立 ℂ³ 中零曲線的 Runge-Mergelyan 型逼近定理，使具有指定幾何與拓撲性質的零曲線得以構造。
• 將結果應用於 ℝ³ 中的極小曲面以及 ℍ³ 中的平均曲率為 1 的曲面（Bryant 曲面），連結複分析與微分幾何。
• 證明每一個具有非平凡有界調和函數的開黎曼曲面，皆可實現完全共形極小浸入至 ℝ³，推廣了先前的結果。

提出的方法

• 利用 ℂ³ 中零曲線的 Runge-Mergelyan 型定理，逼近映射至零二次曲面 𝔸* = {z ∈ ℂ³ : z₁² + z₂² + z₃² = 0, z ≠ 0} 的全純映射。
• 使用以 t ∈ B ⊂ ℂ^N 為參數的全純噴射映射 fₜ: M → 𝔸*，並確保在 t = 0 時週期映射 𝒫(fₜ) 是浸入，以確保週期消失。
• 應用 Riemann-Hilbert 边界值問題技術，對靠近邊界的零圓盤進行變形，同時保持零性並控制第三分量的 C⁰ 模。
• 在小的邊界相鄰圓盤上採用交替變形過程，依次沿正交零方向（例如 V₁ = (1, i, 0), V₂ = (1, -i, 0)）進行變形，對第三分量的擾動最小化。
• 採用噴射的黏合方法，將在帶邊黎曼曲面 M 上的局部零曲線變形進行拼接，確保整體全純性與週期消失。
• 將方法應用於透過積分 G(z) = F(p) + ∫ₚᶻ gθ 構造全域零曲線 G: M̄ → ℂ³，其中 g: M̄ → 𝔸* 有消失週期，且積分結果為零曲線。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在具有任意拓撲結構且像有界的完全、正則浸入零全純曲線於 ℂ³ 中？
• RQ2 能否透過 ℂ³ 中的零曲線，將 ℝ³ 中極小曲面的 Calabi-Yau 問題推廣至複分析設定？
• RQ3 能否使用保持零條件的逼近技術，構造出 ℂ³ 中完全有界的零曲線？
• RQ4 能否透過週期映射的浸入性與帶邊黎曼曲面上噴射的變形，解決零曲線的週期問題？
• RQ5 黎曼曲面上有界調和函數的存在性與 ℝ³ 中完全有界極小浸入的存在性之間有何關係？

主要发现

• 本文對任意開有邊黎曼曲面 M，構造出完全、正則浸入的零全純曲線 F: M̄ → ℂ³，其像包含於 ℂ³ 的任意給定凸區域內。
• 證明了在 ℂ³ 中存在完全有界的零曲線，回答了 Martín、Umehara 和 Yamada 提出的問題，解決了共形 Calabi-Yau 問題的一個關鍵情形。
• 該構造依賴於零曲線的 Runge-Mergelyan 型定理，可逼近至零二次曲面 𝔸* 的全純映射，且週期消失。
• 該方法使構造 ℝ³ 中具有有界像的完全極小曲面成為可能，將 Nadirashvili 的結果推廣至任意拓撲。
• 證明每一個具有非平凡有界調和函數的開黎曼曲面，皆可支持完全共形極小浸入至 ℝ³。
• 在正交零方向上的交替變形過程，對第三分量的 C⁰ 擾動加以控制，可收斂至具有有界第三坐標的正則零曲線。