[论文解读] Null Polynomials modulo m

Shujun Li|ArXiv.org|Oct 11, 2005

Polynomial and algebraic computation参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文研究模 $m$ 恒为零的整系数多项式，即模 $m$ 的零多项式（null polynomials），重点分析其在素数幂 $p^d$ 下的结构与计数。论文提出一种构造性方法，用于确定模 $p^d$ 下最小次数的首一零多项式，并完整刻画了所有此类多项式，关键结果见定理 32 和定理 34。该方法基于阶乘多项式基并结合归纳法，提供了与 Kempner 早期工作不同的新颖证明，且可实现高次同余式的约化，以及模 $m$ 下等价多项式函数的计数。

ABSTRACT

This paper studies so-called "null polynomials modulo m", i.e., polynomials with integer coefficients that satisfy f(x)=0 (mod m) for any integer x. The study on null polynomials is helpful to reduce congruences of higher degrees modulo m and to enumerate equivalent polynomial functions modulo m, i.e., functions over Z_m={0, ..., m-1} generated by integer polynomials. The most well-known null polynomial is f(x)=x^p-x modulo a prime p. After pointing out that null polynomials modulo a composite can be studied by handling null polynomials modulo each prime power, this paper mainly focuses on null polynomials modulo p^d (d>=1). A typical monic null polynomial of the least degree modulo p^d is given for any value of d>=1, from which one can further enumerate all null polynomials modulo p^d. The most useful result obtained in this paper are Theorem 32 in Sec. 4.4 and its derivative -- Theorem 34 in Sec. 4.5. The results given in Sec. 4.3 form a basis of the induction proofs given in Sec. 4.4. However, if you do not care how the proofs in Sec. 4.4 were established, you can simply skip Sec. 4.3. Theorems 28 and 31 are very important for the proof of Theorem 32 and should be paid more attention. Note: After finishing this draft, we noticed that some results given in this paper have been covered in Kempner's papers [3,4]. Since we use a different way to obtain the results, this work can be considered as an independent and different proof. For a brief introduction to Kempner's proof, see the Appendix of this paper.

研究动机与目标

• 刻画所有满足对所有整数 $x$ 有 $f(x) \equiv 0 \pmod{m}$ 的整系数多项式，即模 $m$ 的零多项式。
• 确定模素数幂 $p^d$（$d \geq 1$）下首一零多项式的最小次数。
• 基于结构分解与递归构造，发展一种系统化方法，用于枚举模 $p^d$ 的所有零多项式。
• 提供 Kempner 早期关于零多项式结果的构造性替代方法，采用基于阶乘多项式基与归纳法的不同证明框架。
• 实现高次同余式模 $m$ 的约化，以及 $ olimits\mathbb{Z}_m$ 上等价多项式函数的枚举。

提出的方法

• 本文使用下降阶乘多项式基 $\binom{x}{k}$ 表示整系数多项式，实现唯一分解 $f(x) = \sum_{k=0}^n a_k \binom{x}{k}$，其中系数 $a_k$ 为整数。
• 证明了多项式 $f(x)$ 是模 $m$ 的零多项式，当且仅当其在阶乘基表示下的所有系数 $a_k$ 满足 $a_k \equiv 0 \pmod{m}$，从而将零多项式的性质与系数的可除性直接关联。
• 对于模 $p^d$，定义 $\mu(p^d)$ 为满足 $\mu(p^d)! \equiv 0 \pmod{p^d}$ 的最小整数，并证明 $\prod_{i=0}^{\mu(p^d)-1} (x-i)$ 是一个首一零多项式，其次数为 $\mu(p^d)$。
• 构造过程通过 $d$ 的归纳法进行，关键引理（定理 28 和定理 31）刻画了零多项式在 $d$ 的中间范围内的行为，最终在定理 32 中给出一般 $d \geq 1$ 下最小次数首一零多项式的表达式。
• 模 $p^d$ 下所有零多项式的枚举通过定理 34 实现，该定理将它们表示为特定首一多项式 $\mathcal{G}_{p,n}(x)$ 的幂的线性组合，且组合系数被 $p^d$ 整除。
• 该方法利用 $p$-进赋值的结构以及函数 $I_p(n)$（即 $p$ 整除 $n!$ 的次数）来控制阶乘基中系数的可除性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意满足 $d \geq 1$ 的素数幂 $p^d$，首一零多项式的最小次数是多少？
• RQ2 如何完全枚举模 $p^d$ 的所有零多项式？其系数空间的结构如何？
• RQ3 对于固定的 $p$，最小首一零多项式的次数随 $d$ 如何增长？其精确形式是什么？
• RQ4 能否发展一种构造性、归纳性的方法，独立于 Kempner 的早期方法，推导出模 $p^d$ 的零多项式？
• RQ5 模 $p^d$ 的零多项式与高次同余式的约化或 $ olimits\mathbb{Z}_m$ 上等价多项式函数的枚举之间有何关系？

主要发现

• 模 $p^d$ 的最小次数首一零多项式为 $\prod_{i=0}^{\mu(p^d)-1} (x-i)$，其中 $\mu(p^d)$ 是满足 $\mu(p^d)! \equiv 0 \pmod{p^d}$ 的最小整数，该多项式的次数为 $\omega_1(p^d) = \mu(p^d)$，此结果由定理 32 确立。
• 所有模 $p^d$ 的零多项式在定理 34 中被完全刻画：即其在阶乘基 $\binom{x}{k}$ 下的系数均被 $p^d$ 整除，从而实现完全枚举。
• 对于 $d \geq 1$，模 $p^d$ 的最小首一零多项式的次数为 $\mu(p^d)$，该值可通过基于 $p$-进赋值的算法计算，其结果与 Kempner 的结论一致，但推导方法不同。
• 本文通过基多项式 $\mathcal{G}_{p,n}(x)$ 提供了模 $p^d$ 零多项式的递归构造，定理 34 表明所有零多项式均为这些多项式的乘积的线性组合，且组合系数被 $p^d$ 整除，构成 $ olimits\mathbb{Z}$ 上的自由模。
• 模 $p^d$ 下次数 $\leq n$ 的不同零多项式的数量为 $N_{np}(\leq n, p^d)$，其可通过 $\omega_1(p^d)$ 与函数 $I_p(n)$ 的结构递归计算，如定理 41 所形式化。
• 本文确认多项式 $f(x) = x^p - x$ 是模 $p$ 的零多项式，更一般地，$f(x) = (x^p - x)^d$ 是模 $p^d$ 的首一零多项式，次数为 $pd$，但不一定是最小次数。