[论文解读] Null Surfaces: Counter-term for the Action Principle and the Characterization of the Gravitational Degrees of Freedom

Krishnamohan Parattu, Sumanta Chakraborty+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用 33

一句话总结

该论文通过引入一个反项 $2 \sqrt{q} (\Theta + \kappa)$，解决了在光锥边界上广义相对论的变分原理问题，使作用量变得适定。它识别出光锥面上的物理自由度为诱导二维度量 $q^{ab}$ 和光锥切向量 $\ell^a$，并表明通过坐标选择可消除 $\ell^a$，从而在 (1+1+2) 双光锥参数化下，$q^{ab}$ 成为唯一的物理自由度。

ABSTRACT

Constructing a well-posed variational principle and characterizing the appropriate degrees of freedom that need to be fixed at the boundary are non-trivial issues in general relativity. For spacelike and timelike boundaries, one knows that (i) the addition of a counter-term [like the Gibbons-Hawking-York (GHY) counter-term] will make the variational principle well-defined and (ii) the degrees of freedom to be fixed on the boundary are contained in the induced 3-metric. These results, however, do not directly generalize to null boundaries on which the 3-metric becomes degenerate. In this work, we address the following questions: (i) What is the counter-term that needs to be added on a null boundary to make the variational principle well-defined? (ii) How do we characterize the degrees of freedom which need to be fixed at the boundary? We show that the counter-term to be added is $2 \sqrt{q} \left( \Theta+\kappa ight)$ and that the degrees of freedom to be fixed on the surface are in the induced 2-metric on a null surface, $q^{ab}$, and the tangent vector $\ell^a$ to the null congruence on the surface. We also demonstrate that the degrees of freedom in $\ell^a$ can be eliminated by choosing suitable coordinates. This allows one to identify the physical degrees of freedom of the gravitational field with components $q^{ab}$ of the 2-metric in a suitable (1+1+2) double null parametrization of the spacetime. The implications are discussed.

研究动机与目标

• 为解决当边界为光锥时，由于诱导三维度量退化而导致广义相对论变分原理不适定的问题。
• 确定必须添加到光锥边界作用量上的合适反项，以确保变分原理适定。
• 在诱导三维度量退化的前提下，确定必须在光锥边界上固定的物理自由度。
• 表明与光锥切向量 $\ell^a$ 相关的自由度可通过坐标选择被消除，从而将物理自由度隔离为二维度量 $q^{ab}$。

提出的方法

• 通过分析爱因斯坦-希尔伯特作用量在边界条件下的变分，推导出光锥边界上所需反项。
• 将反项识别为 $2 \sqrt{q} (\Theta + \kappa)$，其中 $\Theta$ 为光锥族的膨胀率，$\kappa$ 为表面引力。
• 分析确保变分原理适定所需的边界条件，表明必须固定诱导二维度量 $q^{ab}$ 和光锥切向量 $\ell^a$。
• 使用 (1+1+2) 双光锥参数化分解时空几何，以分离出物理自由度。
• 证明通过合适的坐标选择，可消除 $\ell^a$ 中的自由度，从而将物理自由度简化为 $q^{ab}$。
• 建立所得到的作用量是有限的，且在 $q^{ab}$ 作为独立边界数据时，变分原理是适定的。

实验结果

研究问题

• RQ1 为使光锥边界上的爱因斯坦-希尔伯特作用量的变分原理适定，必须添加什么反项？
• RQ2 为确保光锥边界上变分原理适定，必须固定哪些几何量？
• RQ3 如何消除或使与光锥切向量 $\ell^a$ 相关的自由度？
• RQ4 在光锥面上固定边界数据后，剩余自由度的物理意义是什么？

主要发现

• 为使光锥边界上的变分原理适定，所需的反项为 $2 \sqrt{q} (\Theta + \kappa)$，其中 $\Theta$ 为光锥族的膨胀率，$\kappa$ 为表面引力。
• 光锥边界上的物理自由度由诱导二维度量 $q^{ab}$ 和光锥切向量 $\ell^a$ 所编码。
• 通过合适的坐标选择，可消除 $\ell^a$ 中的自由度，从而消除非物理冗余。
• 在 (1+1+2) 双光锥参数化下，引力场的物理自由度完全由光锥面上二维度量分量 $q^{ab}$ 描述。
• 加入所提议反项的作用量是有限的，并在光锥边界上导致适定的变分原理。
• 结果将吉布斯-霍金-叶尔科夫反项推广至光锥边界，为在光锥面上的正则引力和量子引力提供了自洽框架。