[论文解读] Number field lattices achieve Gaussian and Rayleigh channel capacity within a constant gap

Roope Vehkalahti, Laura Luzzi|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 17被引用 13

一句话总结

本文证明，基于具有有界根判别式之无限希尔伯特类域塔的数域格码，在瑞利快衰落信道和高斯信道中均能实现与容量的恒定差距。关键机制在于归一化最小乘积距离的渐近行为，其与高斯信道中的赫尔米特不变量类似，从而在使用简单格译码时实现接近容量的性能。

ABSTRACT

This paper proves that a family of number field lattice codes simultaneously achieves a constant gap to capacity in Rayleigh fast fading and Gaussian channels. The key property in the proof is the existence of infinite towers of Hilbert class fields with bounded root discriminant. The gap to capacity of the proposed families is determined by the root discriminant. The comparison between the Gaussian and fading case reveals that in Rayleigh fading channels the normalized minimum product distance plays an analogous role to the Hermite invariant in Gaussian channels.

研究动机与目标

• 建立基于数域的结构化格码可在瑞利衰落信道中实现与遍历容量的恒定差距，解决此前未解的问题。
• 表明在衰落信道中，归一化最小乘积距离的作用与高斯信道中赫尔米特不变量的作用类似。
• 利用具有有界根判别式的希尔伯特类域无限塔，确保乘积距离渐近良好且容量差距恒定。
• 证明该接近容量的性能不仅可通过最大似然译码实现，也可通过简单朴素的格译码实现。
• 通过数论几何统一衰落信道与高斯信道的分析，将每种信道模型与格最小值的自然问题联系起来。

提出的方法

• 通过整数环在复数或实数空间中的典范嵌入，从代数数域构造格码。
• 利用数域中的理想定义格星座，其中乘积距离对应于嵌入下理想的范数。
• 应用希尔伯特类域塔理论，确保存在具有有界根判别式的无限数域族。
• 通过Zimmert定理导出的 $ N_{ ext{min}}(K) $ 边界，将归一化最小乘积距离与根判别式关联。
• 利用算术-几何平均不等式关联乘积距离与最小向量长度，从而实现衰落信道与高斯信道性能的比较。
• 将格缩放至单位体积，并定义归一化不变量（如 $ ext{Nd}_{ ext{p,min}} $），以在不同维数与数域间比较性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于数域的结构化格码是否能在瑞利快衰落信道中实现与容量的恒定差距？
• RQ2 在衰落信道中，归一化最小乘积距离的作用是什么？其与高斯信道中赫尔米特不变量的关系如何？
• RQ3 是否可利用具有有界根判别式的无限数域族，构造出在高斯信道与衰落信道中均实现恒定容量差距的格码？
• RQ4 理想类的选择（如主理想与非主理想）如何影响归一化乘积距离，从而影响可实现速率？
• RQ5 在使用数域格码时，朴素格译码在多大程度上可实现衰落信道中的接近容量性能？

主要发现

• 基于具有有界根判别式的希尔伯特类域塔的数域格码，在高斯信道与瑞利衰落信道中均实现与容量的恒定差距。
• 与容量的差距由数域的根判别式决定，根判别式越小，差距越小。
• 在瑞利衰落信道中，归一化最小乘积距离的作用与高斯信道中赫尔米特不变量的作用类似。
• 当 $ n $ 较大时，来自全纯复域的格的归一化乘积距离上界为 $ (3.1)^{-n} $，而来自全实域的格为 $ (7.12)^{-n} $，表明性能随维数呈指数衰减。
• 所提出的码不仅在最大似然译码下实现该性能，也可通过简单朴素的格译码实现，显著提升实际可行性。
• 即使使用非主理想，该构造依然有效，尤其在类数大于一的域中，此类理想可提升乘积距离。