[论文解读] Number of bounded distance equivalence classes in hulls of repetitive Delone sets

Dirk Frettlöh, Alexey Garber+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2021

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 25被引用 4

一句话总结

该论文证明，具有有限局部复杂性（FLC）和良定义密度的 ℝᵈ 中重复性 Delone 集的壳（hull）要么恰好包含一个有界距离等价（bde）类，要么包含不可数无穷多个（2ℵ₀）。证明通过嵌套的、偏离常规的拼块构造出不可数多个不同的 bde 类，利用重复性与 van Hove 序列确保在 bde 下的互异性。该结果推广了先前对替代镶嵌与截面构造集的研究结果。

ABSTRACT

Two Delone sets are bounded distance equivalent to each other if there is a bijection between them such that the distance of corresponding points is uniformly bounded. Bounded distance equivalence is an equivalence relation. We show that the hull of a repetitive Delone set with finite local complexity has either one equivalence class or uncountably many. A very similar result is proven in arXiv:2011.00106 [math.MG].

研究动机与目标

• 确定具有有限局部复杂性（FLC）的重复性 Delone 集的壳中，有界距离等价（bde）类的数量。
• 解决此类壳中是否仅包含一个 bde 类，或必须包含不可数多个的问题，尤其在非周期序与动力系统背景下。
• 将先前关于替代镶嵌与截面构造集的结果推广至更广泛的 Delone 集类。
• 建立一个二分法：bde 类的数量要么为 1，要么恰好为 2ℵ₀（连续统的基数）。

提出的方法

• 通过迭代选择相对于目标密度具有受控偏差的区域，在 Delone 集中构造一个嵌套的拼块序列 (Pi)。
• 利用重复性确保每个拼块在不断增长的半径内包含前序拼块的平移。
• 定义两类区域：D′ᵢ（点密集）与 N′ᵢ（点稀疏），其相对于密度的偏差符号相反。
• 应用引理 3.7，寻找满足 ci₊₁-偏离性质（偏差远离零）的区域 D′ᵢ₊₁ 与 N′ᵢ₊₁，且平移距离不超过 ℓᵢ₊₁。
• 利用引理 3.2 确保 N′ᵢ₊₁ 的偏差符号与 D′ᵢ₊₁ 相反，从而在迭代过程中保持差异。
• 对每个无限词 u ∈ {D, N}^ℕ，通过一致支持与偏差的拼块 Pi 粘合构造 Delone 集 Λᵤ，利用定理 2.2 确保其在 bde 下的互异性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有有限局部复杂性的重复性 Delone 集的壳中，最多可以存在多少个有界距离等价类？
• RQ2 此类 Delone 集的壳是否可能仅包含一个 bde 类，还是必须包含不可数多个？
• RQ3 在存在良定义密度的条件下，什么条件能导致 bde 类数量的二分法？
• RQ4 该构造不可数多个 bde 类的方法能否推广至无全局密度的情形？

主要发现

• 具有有限局部复杂性与良定义密度的重复性 Delone 集的壳，要么恰好包含一个有界距离等价类，要么包含不可数多个（2ℵ₀）。
• 当存在多个 bde 类时，其数量恰好为 2ℵ₀，这是由于通过 {D, N}^ℕ 中的无限词构造出了 2ℵ₀ 个不同的 Delone 集 Λᵤ。
• 每个构造出的 Delone 集 Λᵤ 属于壳 XΛ，且不同 Λᵤ（在无限多个位置上不同）由于在平移下持续存在偏差不平衡，故不满足 bde 等价。
• 该证明依赖于存在具有递增支撑大小与受控偏差的 van Hove 拼块序列，确保任意两个不同 Λᵤ 与 Λᵤ′ 之间不存在具有有界位移的双射。
• 即使不假设整体密度，该结果依然成立，通过使用中间密度 ̺ ∈ (̺⁻, ̺⁺) 定义点密集与稀疏区域，从而保持二分法成立。
• XΛ 中 bde 类的基数不可能超过 2ℵ₀，因为 XΛ 中至多存在 2ℵ₀ 个元素（模平移），因此上界是紧致的。