[论文解读] Numbers with countable expansions in base of generalized golden ratios

Yuehua Ge, Bo Tan|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文将 Sidorov 和 Vershik 在黄金比例基下关于可数展开的结果推广至任意 m ∈ ℕ 的广义黄金比例基 β = G(m)。当 m 为偶数 m = 2k 时，β = k+1；当 m 为奇数 m = 2k+1 时，β = (k+1 + √(k² + 6k + 5))/2。本文证明，形如 x = pβⁿ + q / (k+1)ⁿ（m 为偶数）或 x = (pβ + q)/(k+1)ⁿ（m 为奇数）的数恰好有 ℵ₀ 个展开，而 (0, m/(β−1)) 中其余所有数均有 2^ℵ₀ 个展开，从而解决了 Baker 提出的一个开放问题。

ABSTRACT

Sidorov and Vershik showed that in base $G=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ and with the digits $0,1$ the numbers $x=nG ~( ext {mod} 1)$ have $\aleph_{0}$ expansions for any $n\in\mathbb{Z}$, while the other elements of $(0, \frac{1}{G-1})$ have $2^{\aleph_{0}}$ expansions. In this paper, we generalize this result to the generalized golden ratio base $β=\mathcal{G}(m)$. With the digit-set $\{0,1,\cdots, m\}$, if $m=2k+1$, $\mathcal{G}(m)=\frac{k+1+\sqrt{k^{2}+6k+5}}{2}$, the numbers $x=\frac{pβ+q}{(k+1)^{n}}\in(0, \frac{m}{β-1})$ (where $n, p, q\in\mathbb{Z}$) have $\aleph_{0}$ expansions, while the other elements of $(0, \frac{m}{β-1})$ have $2^{\aleph_{0}}$ expansions; if $m=2k$, $\mathcal{G}(m)=k+1$, the numbers with countably many expansions are $\frac{p}{(k+1)^{n}}\in(0, 2) ~(n, p\in\mathbb{N}\cup\{0\})$. This solves an open question by Baker.

研究动机与目标

• 将 Sidorov 和 Vershik 关于黄金比例基中可数展开的结果推广至任意 m ∈ ℕ 的广义黄金比例基 β = G(m)。
• 解决 Baker 提出的关于广义黄金比例基中是否存在恰好具有可数多个展开的数的开放问题。
• 刻画在 (0, m/(β−1)) 区间内，使用数字集 {0,1,…,m} 时，具有恰好 ℵ₀ 个展开的实数集合，其中 β = G(m)。
• 建立完整的二分法：区间 (0, m/(β−1)) 中的所有数要么具有不可数多个展开（2^ℵ₀），要么恰好具有可数多个（ℵ₀），并精确刻画后者。

提出的方法

• 将广义黄金比例基 β = G(m) 定义为：当 m 为偶数 m = 2k 时，β = k+1；当 m 为奇数 m = 2k+1 时，β = (k+1 + √(k² + 6k + 5))/2。
• 使用符号动力学和变换 T（一种贪心映射的变体）分析展开的结构。
• 引入 Ind⁺(·) 概念，根据序列的尾部行为对序列进行分类，并将其应用于检测展开的不可数族。
• 应用递归变换过程，将无限展开约化为有限展开，特别关注以 ((k+1)k)^∞ 结尾的序列。
• 通过反证法：假设集合 S 中某数具有不可数多个展开，通过变换反向追踪，导出 1 具有不可数多个展开的矛盾，从而得出矛盾。
• 利用 1 仅有可数多个展开这一事实，当假设 S 中某数具有不可数多个展开时，导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于广义黄金比例基 β = G(m)，(0, m/(β−1)) 中哪些数具有恰好可数个 β-展开（使用数字 {0,1,…,m}）？
• RQ2 Sidorov 和 Vershik 在黄金比例基中关于可数展开的结果，是否对所有 m ∈ ℕ 都存在类比？
• RQ3 在广义黄金比例基中，具有恰好 ℵ₀ 个展开的数的集合，其精确代数与算术结构是什么？
• RQ4 在 β = G(m) 时，具有不可数多个展开的数的集合是否可完全刻画为 (0, m/(β−1)) 中一个可数集的补集？
• RQ5 在广义黄金比例基中，展开结构如何随 m 的奇偶性而变化？

主要发现

• 当 m = 2k 为偶数时，广义黄金比例基为 β = k+1，恰好具有 ℵ₀ 个展开的数正是 (0,2) 中形如 p/(k+1)ⁿ 的二元有理数，其中 n,p ∈ ℕ ∪ {0}。
• 当 m = 2k+1 为奇数时，广义黄金比例基为 β = (k+1 + √(k² + 6k + 5))/2，恰好具有 ℵ₀ 个展开的数是形如 (pβ + q)/(k+1)ⁿ 的数，其中 x ∈ (0, m/(β−1))，且 n,p,q ∈ ℤ。
• 而 (0, m/(β−1)) 中其余所有数均具有 2^ℵ₀ 个展开，确立了可数与不可数展开集之间的严格二分法。
• 具有恰好 ℵ₀ 个展开的数的集合是可数无穷的，并且对偶数和奇数 m 均给出了显式刻画。
• 证明依赖于反证法：假设特殊集合中某数具有不可数多个展开，将导致 1 具有不可数多个展开，这与已知事实（1 仅有可数多个展开）矛盾。
• 变换 T 和函数 Ind⁺(·) 在追踪和分类序列方面起关键作用，使无限展开可约化为有限形式，并揭示了不可数展开族的结构约束。