[论文解读] Numerical analysis of nonlinear eigenvalue problems

Éric Cancès, Rachida Chakir+1 more|ArXiv.org|May 11, 2009

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文针对非线性椭圆特征值问题 $-\mbox{div}(A\nabla u)+Vu+f(u^{2})u=\lambda u$ 在 $\|u\|_{L^{2}}=1$ 条件下的基态特征对，提出了先验误差估计。研究建立了能量、特征值和特征向量误差的收敛速率，表明在一般条件下，$|\lambda_\delta - \lambda|$ 以 $\|u_\delta - u\|_{H^{1}}^2 + \|u_\delta - u\|_{L^{2}}$ 的速率收敛；在更强假设下，以 $\|u_\delta - u\|_{H^{1}}^2$ 的速率收敛，该结果通过负索伯列夫范数估计获得。

ABSTRACT

We provide a priori error estimates for variational approximations of the ground state eigenvalue and eigenvector of nonlinear elliptic eigenvalue problems of the form $-{div} (A abla u) + Vu + f(u^2) u = λu$, $\|u\|_{L^2}=1$. We focus in particular on the Fourier spectral approximation (for periodic problems) and on the $¶_1$ and $¶_2$ finite-element discretizations. Denoting by $(u_δ,λ_δ)$ a variational approximation of the ground state eigenpair $(u,λ)$, we are interested in the convergence rates of $\|u_δ-u\|_{H^1}$, $\|u_δ-u\|_{L^2}$ and $|λ_δ-λ|$, when the discretization parameter $δ$ goes to zero. We prove that if $A$, $V$ and $f$ satisfy certain conditions, $|λ_δ-λ|$ goes to zero as $\|u_δ-u\|_{H^1}^2+\|u_δ-u\|_{L^2}$. We also show that under more restrictive assumptions on $A$, $V$ and $f$, $|λ_δ-λ|$ converges to zero as $\|u_δ-u\|_{H^1}^2$, thus recovering a standard result for {\em linear} elliptic eigenvalue problems. For the latter analysis, we make use of estimates of the error $u_δ-u$ in negative Sobolev norms.

研究动机与目标

• 为非线性椭圆特征值问题中基态能量、特征值和特征向量的变分逼近建立先验误差估计。
• 在问题数据具有不同正则性假设的条件下，分析特征向量和特征值在 $H^1$ 与 $L^2$ 范数下的误差收敛速率。
• 通过利用负索伯列夫范数估计，将线性特征值问题的标准收敛结果推广至非线性情形。
• 验证特定离散化格式（傅里叶谱方法、$\mathbb{P}_1$ 和 $\mathbb{P}_2$ 有限元方法）的收敛行为。

提出的方法

• 分析基于非线性特征值问题的变分形式，其中基态被表征为在 $L^2$-归一化约束下能量泛函的极小化器。
• 问题被重述为自伴算子 $A_u = -\mbox{div}(A\nabla \cdot) + V + f(u^2)$ 的特征值问题，即 $A_u u = \lambda u$ 且 $\|u\|_{L^2} = 1$。
• 通过离散解与连续解之差 $u_\delta - u$ 推导误差估计，并在 $H^1$ 与 $L^2$ 范数下分析收敛速率。
• 采用负索伯列夫范数估计以改进特征值误差分析，特别是在更强假设下恢复 $\|u_\delta - u\|_{H^1}^2$ 的收敛速率。
• 将收敛性分析应用于傅里叶谱方法和 $\mathbb{P}_1$、$\mathbb{P}_2$ 有限元离散化，结果依赖于 $A$、$V$ 和 $f$ 的正则性。
• 假设函数 $F(t) = \int_0^t f(s)\,ds$ 在 $[0,\infty)$ 上连续可微，在 $(0,\infty)$ 上二次连续可微，且满足 $F'' > 0$，同时 $f = F'$ 满足霍尔德型条件 (8)，以获得更精细的估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于非线性特征值问题，当离散化参数 $\delta \to 0$ 时，特征向量和特征值的误差如何收敛？
• RQ2 在何种条件下，特征值误差 $|\lambda_\delta - \lambda|$ 以 $\|u_\delta - u\|_{H^1}^2 + \|u_\delta - u\|_{L^2}$ 的速率收敛？
• RQ3 在非线性情形下，能否恢复线性特征值问题中标准的 $\|u_\delta - u\|_{H^1}^2$ 收敛速率？
• RQ4 负索伯列夫范数估计在改进非线性问题特征值误差分析中起什么作用？
• RQ5 收敛速率如何依赖于非线性项中系数 $A$、$V$ 和 $f$ 的正则性？

主要发现

• 在一般假设下，特征值误差满足 $|\lambda_\delta - \lambda| \lesssim \|u_\delta - u\|_{H^1}^2 + \|u_\delta - u\|_{L^2}$。
• 在更强假设下，包括 $f$ 满足霍尔德型条件 (8)，特征值误差以 $|\lambda_\delta - \lambda| \lesssim \|u_\delta - u\|_{H^1}^2$ 的速率收敛，恢复了线性问题的收敛速率。
• 基态解 $u$ 唯一、正定，且属于 $C^{0,\alpha}(\overline{\Omega})$，其中 $\alpha \in (0,1)$，这是由椭圆正则性与哈纳克不等式所保证。
• 特征值 $\lambda$ 是算子 $A_u$ 的单特征值，且任何其他非线性特征值问题的解对应的特征值严格更大。
• 能量泛函在 $L^2$-范数为 1 的非负函数集合上严格凸，从而保证极小化器 $\rho_0 = u^2$ 的唯一性。
• 收敛性分析适用于傅里叶谱方法和 $\mathbb{P}_1$、$\mathbb{P}_2$ 有限元方法，收敛速率依赖于问题数据的正则性。