[论文解读] Numerical Approximation in Riemannian Manifolds by Karcher Means

Stefan W. von Deylen|arXiv (Cornell University)|May 14, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文提出了一种使用Karcher均值定义重心单纯形来近似黎曼流形的数值方法，确保在形状正则性条件下，所得映射近乎等距。关键贡献在于证明了重心映射的微分及其梯度有界，从而使得在曲面上应用Galerkin有限元方法时，误差估计可与经典欧氏方法相媲美。

ABSTRACT

(1) For a compact Riemannian manifold without boundary $(M,g)$ containing $n+1$ points $p_i$ and the $n$-dimensional standard simplex $Δ$, the miniser of \[ E: M imes Δ o {\mathbf R}, (a,λ) \mapsto λ^0 d^2(a,p_0) + \dots + λ^n d^2(a,p_n) \] is considered as point with "barycentric coordinates" $λ_i$ within the so-called Karcher simplex (or Riemannian simplex or geodesic finite element) defined by vertices $p_i$. In the small, existence and uniqueness is well-known. Now suppose $Δ$ carries a flat Riemannian metric $g^e$ induced by edge lengths $d(p_i,p_j)$, where $d$ is the geodesic distance in $M$. If all edge lengths are small than $h$ and $vol(Δ,g^e) \geq αh^n$ for some $α> 0$, then we can show that \begin{equation} |(x^*g - g^e)(v,w)| \leq c h^2 |v| |w|, \qquad |( abla^{x^*g} - abla^{g^e})_v w| \leq c h |v| |w| \end{equation} with some constant $c$ depending only on the curvature tensor $R$ of $(M,g)$ and $α$. From this we derive several estimates for Finite Element calculations in which $(M,g)$ is replaced by a piecewise flat realised simplicial complex. (2) Let $M$ be the geometric realisation of a simplicial complex $K$. The simplicial cohomology $(C^k(K), \partial^*)$ has been interpreted as "discrete outer calculus" (DEC) in the literature. We define spaces $P^{-1}Ω^k \subset L^\inftyΩ^k$ and outer differentials and give an isometric cochain map $C^k o P^{-1}Ω^k$. This reduces the computation of variational problems in discrete outer calculus to variational problems in a trial space of non-conforming differential forms. We investigate the approximation properties of $P^{-1}Ω^k$ in $H^1Ω^k$ and compare the solutions to variational problems in both spaces.

研究动机与目标

• 在非恒定曲率的黎曼流形中，定义一种计算上可行且几何上有意义的单纯形概念。
• 确定Karcher重心映射为双射并诱导出有效重心坐标的条件。
• 对重心映射的形变提供定量估计，确保其行为类似于等距映射，且形变受曲率相关边界的控制。
• 在流形的分片平坦单纯形逼近上实现Galerkin有限元方法，其误差控制与经典欧氏有限元理论相当。
• 通过内在几何构造，弥合离散几何方法与曲面上变分PDE之间的鸿沟。

提出的方法

• 将Karcher单纯形构造为从标准单纯形到流形 $ x: riangle \to M $ 的重心映射的像，通过给定顶点 $ p_i \notin M $ 的黎曼质心定义。
• 利用黎曼质心（Karcher均值）定义从标准单纯形到流形的唯一连续重心映射。
• 利用流形和顶点构型的形状正则性条件，对微分 $ dx $ 及其梯度 $ \nabla dx $ 进行有界控制，确保映射近乎等距。
• 应用Jost与Karcher（1982）关于 $ \nabla dx $ 估计的理论，并将其与Galerkin逼近理论结合，推导误差界。
• 依赖有限元空间的 $ L^2 $-最优逼近性质及Poincaré型不等式，控制Galerkin解中的误差。
• 利用 $ \nabla W $ 是 $ Q = dx - Pdy $ 的 $ L^2 $-最优逼近这一事实，通过插值和梯度控制实现误差估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Karcher重心映射 $ x $ 是其像上的微分同胚，从而在单纯形上诱导出有效的重心坐标？
• RQ2 重心映射 $ x $ 的形变与法坐标相比如何？其形变能否用曲率和网格尺寸表示为有界量？
• RQ3 Galerkin有限元方法能否在黎曼流形的分片平坦单纯形逼近上被严格应用？
• RQ4 当使用基于Karcher的单纯形三角剖分时，PDE的Galerkin逼近的误差估计是什么？
• RQ5 如何使重心映射的隐式定义在计算上可行，特别是考虑到精确测地距离计算的高成本？

主要发现

• Karcher重心映射的微分 $ dx $ 满足 $ |dx| \triangleq \text{ess sup} |\nabla dx| \triangleq C_{0,1}^{\text{primes}} h $，其中 $ h $ 为网格尺寸，$ C_{0,1}^{\text{primes}} $ 依赖于曲率和形状正则性。
• 微分梯度 $ \nabla dx $ 在 $ L^\nu $-范数下有界，且 $ \nabla dx \triangleq \text{ess sup} |\nabla dx| \triangleq C_{0,1}^{\text{primes}} h $，确保映射近乎等距。
• 在Karcher单纯形上的Galerkin解实现了最优误差估计：$ \rho_0(x,y) + \rho_1(x,y) \triangleq \rho_{0,\text{bdry}}(x,y) + h \nabla dx + C_{0,1}^{\text{primes}} h $，其中常数依赖于流形几何与维度。
• 该方法通过确保重心映射保留变分公式所必需的基本几何结构，使得在曲面上应用标准有限元技术成为可能。
• 只要满足形状正则性和曲率条件，Galerkin逼近的误差界与经典欧氏有限元理论中的误差界同阶。
• 该方法对平方距离函数 $ \textbf{d}^2 $ 的近似具有鲁棒性，表明可通过Crane等人（2013）提出的快速测地距离求解器实现实际应用。