[论文解读] Numerical approximation of BSDEs using local polynomial drivers and branching processes

Bruno Bouchard, Xiaolu Tan+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种新颖的数值格式，用于求解具有广义Lipschitz驱动的倒向随机微分方程（BSDEs），通过将驱动的局部多项式逼近与分支扩散过程相结合。该方法采用基于路径依赖局部多项式的Picard迭代，能够在任意时间范围内实现收敛，避免了全局多项式逼近所固有的有限时间爆炸问题，并通过纯前向蒙特卡洛模拟分支过程避免了条件数学期望的估计。

ABSTRACT

We propose a new numerical scheme for Backward Stochastic Differential Equations based on branching processes. We approximate an arbitrary (Lipschitz) driver by local polynomials and then use a Picard iteration scheme. Each step of the Picard iteration can be solved by using a representation in terms of branching diffusion systems, thus avoiding the need for a fine time discretization. In contrast to the previous literature on the numerical resolution of BSDEs based on branching processes, we prove the convergence of our numerical scheme without limitation on the time horizon. Numerical simulations are provided to illustrate the performance of the algorithm.

研究动机与目标

• 开发一种适用于广义Lipschitz驱动BSDE的数值格式，避免对条件期望估计的需求。
• 通过使用局部而非全局多项式逼近，克服多项式驱动逼近中固有的有限时间爆炸问题。
• 确保数值格式在任意时间范围内实现收敛，而不同于以往基于分支过程的方法仅适用于短时间区间。
• 通过分支过程的前向蒙特卡洛模拟实现高效计算，避免了向后递推或基于回归的条件期望估计。
• 提供一个理论基础坚实的马尔可夫框架，可自然推广至非马尔可夫情形。

提出的方法

• 在状态空间的划分上，使用基于局部多项式的逼近方法来近似BSDE的一般Lipschitz驱动。
• 应用Picard迭代格式，其中每次迭代均基于当前解的空间位置使用固定的局部多项式逼近。
• 通过分支扩散系统表示每次Picard迭代步骤的解，利用KPP型PDE的概率表示。
• 通过分支过程的纯前向蒙特卡洛模拟来估计BSDE的Y分量，避免向后计算。
• 通过控制局部多项式逼近误差并结合Picard迭代中的压缩映射论证，确保收敛性，同时对解的Hölder连续性和Lipschitz连续性施加有界性。
• 采用固定时间步长的时间离散化，并通过稳定性估计和SDE与BSDE解的矩控制推导误差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在BSDE中使用驱动的局部多项式逼近是否能确保在任意时间范围内收敛，从而避免全局多项式逼近（尤其是次数≥2时）出现的有限时间爆炸问题？
• RQ2 将局部多项式驱动与分支过程结合，是否能实现一种无需条件期望估计的BSDE数值格式，适用于广义Lipschitz驱动？
• RQ3 Picard迭代格式是否可被调整以使用空间可变的局部多项式，而无需在每一步精确估计解的路径？
• RQ4 在局部多项式驱动下，近似BSDE解的正则性与稳定性特性如何？
• RQ5 与现有的基于PDE或回归的BSDE数值格式相比，该方法在收敛性与计算效率方面表现如何？

主要发现

• 所提出的格式在任意时间范围内对广义Lipschitz驱动的BSDE实现了收敛，而以往基于分支过程的方法仅限于短时间区间。
• 使用局部多项式驱动可有效防止有限时间爆炸问题，该问题在全局多项式逼近（尤其是次数≥2）中普遍存在。
• 通过依赖分支过程的前向模拟，该方法避免了条件期望的估计，简化了实现过程并降低了计算成本。
• 通过压缩映射论证控制了解的Hölder连续性与Lipschitz连续性，且给出了值函数Lipschitz常数的显式界，其表达式与驱动和SDE系数相关。
• 数值模拟验证了该算法的性能与稳定性，表明其在金融与随机控制等实际应用中的可行性。
• 该理论框架在马尔可夫与非马尔可夫情形下均成立，所有论证可直接推广至后者。