[论文解读] Numerical approximation of the stochastic heat equation with a distributional reaction term

Ludovic Goudenège, El Mehdi Haress+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2024

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用 1

一句话总结

该论文为在一维空间中带有分布型反应项的随机热方程，建立了受限制欧拉有限差分格式的收敛速率。通过利用随机搓揉技术及漂移项的Besov正则性，证明了L^m收敛性，其收敛速率依赖于奇异漂移的正则性，当漂移为有界可测时，空间和时间的收敛速率分别接近最优的(1/2 − ε)和(1/4 − ε)，即使漂移仅为有限测度，也能获得正的收敛速率。

ABSTRACT

We study the numerical approximation of the stochastic heat equation with a distributional reaction term. Under a condition on the Besov regularity of the reaction term, it was proven recently that a strong solution exists and is unique in the pathwise sense, in a class of H\"older continuous processes. For a suitable choice of sequence $(b^k)_{k\in \mathbb{N}}$ approximating $b$, we prove that the error between the solution $u$ of the SPDE with reaction term $b$ and its tamed Euler finite-difference scheme with mollified drift $b^k$, converges to $0$ in $L^m(\Omega)$ with a rate that depends on the Besov regularity of $b$. In particular, one can consider two interesting cases: first, even when $b$ is only a (finite) measure, a rate of convergence is obtained. On the other hand, when $b$ is a bounded measurable function, the (almost) optimal rate of convergence $(\frac{1}{2}-\varepsilon)$-in space and $(\frac{1}{4}-\varepsilon)$-in time is achieved. Stochastic sewing techniques are used in the proofs, in particular to deduce new regularising properties of the discrete Ornstein-Uhlenbeck process.

研究动机与目标

• 将随机热方程数值收敛结果从有界可测漂移推广至Besov空间中的分布型漂移。
• 针对路径wise意义下经光滑化处理的漂移项，建立受限制欧拉有限差分格式的强收敛速率。
• 基于反应项b的Besov正则性，量化L^m(Ω)中的收敛速率。
• 证明当b仅为有限测度而非函数时，收敛性依然可实现。

提出的方法

• 构造一种受限制欧拉有限差分格式，空间采用中心差分，时间显式推进，并使用光滑化漂移序列(bk)k∈N。
• 通过随机搓揉技术分析该格式，特别适用于处理离散Ornstein-Uhlenbeck过程及其正则化性质。
• 利用矩估计与漂移差值‖b − bk‖B^{γ−1}_p的Besov范数控制，对真实解u与数值解un,k之间的误差进行有界。
• 在弱正则性假设下，采用带有对数因子的临界Gröenwall型引理，控制数值误差的增长。
• 分析依赖于一种改进的随机搓揉引理，其临界指数可实现对奇异漂移下误差的控制。
• 通过结合矩界、离散半群估计与解的路径正则性，实现收敛性证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 当反应项b属于Besov空间B^γ_{p,∞}时，随机热方程数值解的收敛速率能达到多高？
• RQ2 当b仅为有限测度而非函数时，受限制欧拉有限差分格式是否能在L^m(Ω)中收敛？
• RQ3 当b为有界可测函数时，时间与空间的最优收敛速率是多少？其结果能多接近已知的1/4（时间）与1/2（空间）的精确速率？
• RQ4 随机搓揉技术及离散Ornstein-Uhlenbeck过程的正则化性质，在奇异漂移存在下如何促进误差估计？
• RQ5 能否使用带有对数项的临界Gröenwall引理，来控制低正则性漂移下数值格式中的误差传播？

主要发现

• 数值格式在L^m(Ω)中收敛至真实解，收敛速率取决于漂移b的Besov正则性，具体为‖b − bk‖B^{γ−1}_p。
• 当b为有限测度时（即γ − 1/p ≤ −1），即使b不是函数，仍可获得正的收敛速率。
• 对于有界可测漂移（γ = 0, p = ∞），该格式在空间和时间上分别实现了近乎最优的收敛速率(1/2 − ε)与(1/4 − ε)。
• 分析依赖于随机搓揉引理在临界指数下的新颖应用，使在弱正则性条件下仍能控制离散解的误差。
• 推导出离散Ornstein-Uhlenbeck过程的新正则化性质，该性质在控制数值格式误差中起关键作用。
• 采用带有对数项的临界Gröenwall型引理，使证明能够处理漂移的非Lipschitz性质，并控制格式中的误差增长。