[论文解读] Numerical approximations for fractional elliptic equations via the method of semigroups

Nicole Cusimano, Félix del Teso+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2018

Differential Equations and Boundary Problems被引用 7

一句话总结

本文提出了一种新颖的数值方法，用于在有界域上求解涉及谱分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta_{\mathcal{B}})^s$ 的分数阶椭圆方程，采用半群方法。通过将热半群的有限元离散化与奇异积分的单调求积规则相结合，该方法在光滑数据下实现了高达 $O(h^{4})$ 的收敛速率，在 $L^2$ 数据下实现了 $O(h^{2s})$ 的收敛速率，对狄利克雷、诺伊曼和罗宾边界条件均表现出高精度与灵活性。

ABSTRACT

We provide a novel approach to the numerical solution of the family of nonlocal elliptic equations $(-\\Delta)^su=f$ in $\\Omega$, subject to some homogeneous boundary conditions $\\mathcal{B}(u)=0$ on $\\partial \\Omega$, where $s\\in(0,1)$, $\\Omega\\subset \\mathbb{R}^n$ is a bounded domain, and $(-\\Delta)^s$ is the spectral fractional Laplacian associated to $\\mathcal{B}$ on $\\partial \\Omega$. We use the solution representation $(-\\Delta)^{-s}f$ together with its singular integral expression given by the method of semigroups. By combining finite element discretizations for the heat semigroup with monotone quadratures for the singular integral we obtain accurate numerical solutions. Roughly speaking, given a datum $f$ in a suitable fractional Sobolev space of order $r\\geq 0$ and the discretization parameter $h>0$, our numerical scheme converges as $O(h^{r+2s})$, providing super quadratic convergence rates up to $O(h^4)$ for sufficiently regular data, or simply $O(h^{2s})$ for merely $f\\in L^2(\\Omega)$. We also extend the proposed framework to the case of nonhomogeneous boundary conditions and support our results with some illustrative numerical tests.

研究动机与目标

• 开发一种用于在有界域上求解具有谱分数阶拉普拉斯算子的非局部椭圆问题的精确且高效的数值格式。
• 解决在齐次与非齐次边界条件下求解 $(-\Delta_{\mathcal{B}})^s u = f$ 的挑战。
• 利用逆分数阶拉普拉斯算子的半群表示，以实现稳定且高阶的离散化。
• 在对数据 $f$ 的正则性假设各异的情况下，建立所提方法的严格收敛速率。

提出的方法

• 通过半群公式 $(-\Delta_{\mathcal{B}})^{-s}f(x) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty e^{t\Delta_{\mathcal{B}}}f(x) \frac{dt}{t^{1-s}}$ 表示解，将分数阶逆算子与热半群联系起来。
• 应用有限元方法对热半群 $e^{t\Delta_{\mathcal{B}}}f$ 进行离散化，实现在每个时间 $t$ 的空间近似。
• 使用单调求积规则近似时间方向的奇异积分，确保稳定性和高阶收敛。
• 通过将解分解为齐次部分与校正部分，将方法扩展至非齐次边界条件。
• 收敛性分析结合了有限元误差估计与求积误差界，从而得出全局收敛速率。
• 该框架适用于狄利克雷、诺伊曼和罗宾边界条件，且可扩展至更一般的算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用半群方法在具有各种边界条件的有界域上推导出谱分数阶拉普拉斯算子的高阶数值格式？
• RQ2 当在半群公式的时间积分中结合有限元空间离散化与高阶求积时，可实现何种收敛速率？
• RQ3 对于 $L^2(\Omega)$ 中的低正则性数据，该方法表现如何，且收敛性是否能够保持？
• RQ4 在保持最优收敛速率的前提下，该方法能否扩展至非齐次边界条件？
• RQ5 该方法在非凸多边形域上是否稳健，且在奇点附近进行网格加密后能否恢复最优收敛？

主要发现

• 对于 $f \in \mathbb{H}_{\mathcal{B}}^r(\Omega)$ 且 $r \geq 0$ 的数据，所提方法实现了 $O(h^{r+2s})$ 的收敛速率，当数据足够光滑时，收敛速率最高可达 $O(h^4)$。
• 对于 $f \in L^2(\Omega)$ 的情况，方法以 $O(h^{2s})$ 的速率收敛，该速率在给定正则性下为最优。
• 热半群的有限元逼近与单调求积规则的结合确保了稳定性和高阶精度。
• 通过将解分解为调和校正项与齐次问题，该方法被扩展至非齐次边界条件。
• 理论收敛结果得到了数值实验的支持，结果表明在不同边界条件与数据正则性下均能实现预测的收敛速率。
• 该框架可推广至其他二阶椭圆算子与边界条件，仅需对求积和有限元部分进行最小程度的修改。