[论文解读] Numerical approximations of the Cahn-Hilliard and Allen-Cahn Equations with general nonlinear potential using the Invariant Energy Quadratization approach

Xiaofeng Yang, Guodong Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2017

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 19被引用 29

一句话总结

本文提出了一类用于具有通用非线性势能的Cahn-Hilliard方程和Allen-Cahn方程的一阶半隐式数值格式，采用不变能量二次化（IEQ）方法。通过引入新变量将非线性势能重新表述为二次形式，该方法得到了线性且无条件能量稳定的格式。关键贡献在于在势能有界性和连续性方面提出了温和且符合物理实际的条件，并严格推导出最优误差估计，这些条件对常见的势能（如双阱势和正则化Flory-Huggins势）均成立。

ABSTRACT

In this paper, we carry out stability and error analyses for two first-order, semi-discrete time stepping schemes, which are based on the newly developed Invariant Energy Quadratization approach, for solving the well-known Cahn-Hilliard and Allen-Cahn equations with general nonlinear bulk potentials. Some reasonable sufficient conditions about boundedness and continuity of the nonlinear functional are given in order to obtain optimal error estimates. These conditions are naturally satisfied by two commonly used nonlinear potentials including the double-well potential and regularized logarithmic Flory-Huggins potential. The well-posedness, unconditional energy stabilities and optimal error estimates of the numerical schemes are proved rigorously.

研究动机与目标

• 为具有通用非线性体相势的Cahn-Hilliard方程和Allen-Cahn方程开发无条件能量稳定的数值格式。
• 解决针对IEQ类格式在一般非线性势能下缺乏严格误差分析的问题。
• 通过识别势能有界性和连续性的充分条件，建立最优误差估计。
• 提供一个通用的分析框架，适用于具有多种非线性势能的各类梯度流模型。
• 将IEQ方法的应用从能量稳定性扩展至收敛性分析，并获得最优收敛速率。

提出的方法

• 应用不变能量二次化（IEQ）方法，通过引入辅助变量将非线性势能转化为二次形式。
• 将原始PDE重新表述为新变量下的新系统，保持连续层面的能量耗散律。
• 采用一阶半隐式格式对时间导数进行离散化，得到线性方程组。
• 通过构造确保所得线性系统适定且无条件能量稳定。
• 采用与试函数属于同一函数空间的变分形式推导误差估计。
• 利用数学归纳法和二次泛函的Lipschitz连续性，控制新变量中的误差，并将其与原始解关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否针对具有通用非线性势能的Cahn-Hilliard方程和Allen-Cahn方程，严格推导出基于IEQ格式的最优误差估计？
• RQ2 对非线性势能的何种最小条件可确保误差控制所需的有界性和连续性？
• RQ3 IEQ变换在非线性存在下如何影响误差传播与收敛行为？
• RQ4 IEQ框架能否扩展至提供超越能量稳定性的误差估计，特别是针对一阶时间离散化？
• RQ5 所推导的误差估计在标准势能（如双阱势和正则化Flory-Huggins势）下在多大程度上成立？

主要发现

• 为应用于Cahn-Hilliard方程和Allen-Cahn方程的一阶IEQ格式建立了 𝒪(δt) 阶的最优误差估计。
• 误差界在势能有界性和连续性的充分条件下导出，这些条件自然满足于双阱势和正则化Flory-Huggins势。
• 该格式具有无条件能量稳定性，即能量衰减不依赖于时间步长或网格分辨率。
• 由IEQ方法产生的线性系统适定，且对Allen-Cahn方程而言为对称正定。
• 对足够小的时间步长，建立了统一的有界性 ∥φn∥L∞ ≤ κ，这对控制误差分析中的非线性项至关重要。
• 该分析框架具有通用性，由于其变分形式，可推广至任意一致的Galerkin型空间离散化。