[论文解读] Numerical Asymptotic Results in Game Theory Using Sergeyev's Infinity Computing

Lorenzo Fiaschi, Marco Cococcioni|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2018

Mathematical and Theoretical Analysis被引用 26

一句话总结

本文提出了一种新颖的数值框架，利用Sergeyev的无穷数计算（Infinity Computing）来分析具有无限、有限和无穷小收益的囚徒困境锦标赛。通过采用Grossone方法论，该框架实现了在无限次交互的重复囚徒困境游戏中对结果的精确计算，揭示出最优收益调整发生在无穷小区间内，从而克服了经典极限分析方法的局限性。

ABSTRACT

Prisoner's Dilemma (PD) is a widely studied game that plays an important role in Game Theory. This paper aims at extending PD Tournaments to the case of infinite, finite or infinitesimal payoffs using Sergeyev's Infinity Computing (IC). By exploiting IC, we are able to show the limits of the classical approach to PD Tournaments analysis of the classical theory, extending both the sets of the feasible and numerically computable tournaments. In particular we provide a numerical computation of the exact outcome of a simple PD Tournament where one player meets every other an infinite number of times, for both its deterministic and stochastic formulations.

研究动机与目标

• 克服经典极限理论在分析具有无限交互次数的重复囚徒困境锦标赛时的局限性。
• 将可行且可数值计算的囚徒困境锦标赛集合扩展至超越有限收益假设的范围。
• 提供一个能够同时处理无限、有限和无穷小收益的博弈论框架。
• 展示无穷数计算在计算具有无限交互的确定性和随机性囚徒困境锦标赛的确切结果方面的可行性和精确性。

提出的方法

• 利用Sergeyev的无穷数计算（IC）和Grossone方法论，在单一一致的数码系统中表示并计算无限和无穷小数。
• 引入Grossone（①）作为表示自然数集合基数的新无限单位，从而实现对无限和无穷小量的算术运算。
• 对标准囚徒困境收益结构进行调整，允许在收益矩阵中使用无限和无穷小值，特别关注诱惑收益T。
• 推导出当交互次数趋近于①时，重复囚徒困境游戏中总收益差的渐近表达式，使用关于①的符号展开。
• 将该方法应用于确定性和随机性形式，精确计算出在无限交互下，玩家获胜时诱惑收益T必须落入的区间。
• 采用改进的收益差函数Δ̃(·)，引入无穷小扰动δT、δR、δP，并将获胜条件表示为包含①的不等式组。

实验结果

研究问题

• RQ1 当每位玩家与其他每位玩家无限次交互时，囚徒困境锦标赛的结果会发生什么变化？
• RQ2 在博弈论设定中，如何在不依赖经典极限的情况下，对无限和无穷小收益进行数值计算和比较？
• RQ3 在无限重复的囚徒困境锦标赛中，决定胜者的收益调整（特别是T）的确切区间是什么？
• RQ4 Grossone方法论能否为具有无限交互的重复博弈分析提供一致且数值可处理的框架？

主要发现

• 当交互次数n设定为无限单位①时，玩家获胜所需诱惑收益T所在的区间宽度为无穷小，具体为W = τ / (μₖⱼ³① + λₖⱼ³)。
• 获胜区间的宽度W仅取决于τ以及有限系数μₖⱼ³和λₖⱼ³，而不依赖于δT、δR或δP的具体值，表明对小收益扰动具有鲁棒性。
• 为使在无限交互下存在获胜策略，收益T必须位于以S为中心、宽度为W = τ / (μₖⱼ³① + λₖⱼ³)的无穷小区间内，该结果源自收益差函数的渐近行为。
• 分析表明，获胜条件取决于μₖⱼ³的符号，导致不等式组（20）和（21）出现两种不同情形，从而确定δT的边界。
• 该方法成功计算出具有无限交互的随机囚徒困境锦标赛的确切结果，表明获胜策略由T的无穷小调整决定，而非有限收益差异。
• 该框架使得此前因发散或未定义极限而在经典博弈论中无法处理的场景，能够实现数值计算。