[论文解读] Numerical calculation of one-loop integration with hypergeometric functions

T. Kaneko|arXiv (Cornell University)|May 11, 2011

Particle physics theoretical and experimental studies被引用 5

一句话总结

本文提出了一种利用拉乌里契拉超几何函数 $F_D$ 计算量子场论中一 Loop 标量积分的数值方法，实现了任意时空维度下两体和三体函数的精确解析表达式，以及四体函数在四维附近的有限部分表示。该方法通过利用 $F_D$ 已知的奇点结构确保了数值稳定性，并且在无质量 QCD 红色发散情形下，其实现成功复现了 golem95 包的结果。

ABSTRACT

One-loop two-, three- and four-point scalar functions are analytically integrated directly such that they are expressed in terms of Lauricella's hypergeometric function $F_D$. For two- and three-point functions, exact expressions are obtained with arbitrary combination of kinematic and mass parameters in arbitrary space-time dimension. Four-point function is expressed in terms of $F_D$ up to the finite part in the expansion around 4-dimensional space-time with arbitrary combination of kinematic and mass parameters. Since the location of the possible singularities of $F_D$ is known, information about the stabilities in the numerical calculation is obtained. We have developed a numerical library calculating $F_D$ around 4-dimensional space-time. The numerical values for IR divergent cases of four-point functions in massless QCD are calculated and agreed with golem95 package.

研究动机与目标

• 开发一种在任意动量和质量参数下，对量子场论中一 Loop 标量积分具有数值稳定性的方法。
• 将两体、三体和四体函数用拉乌里契拉超几何函数 $F_D$ 表示，适用于任意时空维度。
• 实现在四维时空附近对 $F_D$ 的精确数值计算，尤其针对红外发散情形。
• 通过与 golem95 等成熟软件包对比，验证该方法在基准物理过程中的表现。

提出的方法

• 直接对一 Loop 标量图进行解析积分，得到以拉乌里契拉超几何函数 $F_D$ 表示的表达式。
• 该方法可处理任意时空维度 $D$ 下外部动量和内部质量的任意组合。
• 对于四体函数，围绕 $D=4$ 展开，仅保留 $\varepsilon$-展开中的有限部分。
• 利用 $F_D$ 中已知奇点位置，评估计算过程中的数值稳定性。
• 实现了一个专用的数值库，用于在 4D 极限下以受控精度计算 $F_D$。
• 该实现已针对无质量 QCD 四体函数的红外发散情形，与 golem95 包进行了验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以系统地将一 Loop 两体、三体和四体标量函数表示为 $F_D$ 超几何函数？
• RQ2 如何在四维时空附近对 $F_D$ 实现具有保证稳定性的数值计算？
• RQ3 基于 $F_D$ 的方法在无质量 QCD 的红外发散振幅中，其精度和可靠性如何？
• RQ4 该方法是否能够复现 golem95 等成熟软件包的基准结果？

主要发现

• 两体和三体函数在任意动量构型、质量参数和时空维度下，均可精确表示为 $F_D$。
• 四体函数通过 $F_D$ 表示，仅保留 $D=4$ 附近 $\varepsilon$-展开的有限部分，且适用于任意动量构型和质量参数。
• $F_D$ 的奇点结构使得在计算过程中能够可靠地评估数值稳定性。
• 所实现的数值库成功计算了无质量 QCD 中的红外发散四体函数，其结果与 golem95 包一致。