[论文解读] Numerical characterization of the Kähler cone of a compact Kähler manifold

Jean-Pierre Demailly, Mihai Păun|ArXiv.org|May 22, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用 119

一句话总结

本文通过证明其等于在所有不可约解析子集上数值正定的实(1,1)-上同调类集合的一个连通分支，提供了紧致凯勒流形上凯勒锥的数值刻画。关键结果通过使用蒙日-安培方程的质量集中技术与卡拉比-丘定理，将纳凯-莫伊舍宗准则推广至非整数类，证明任一上同调类若为 nef 且上自交数为正，则包含一个凯勒当前。

ABSTRACT

The goal of this work is give a precise numerical description of the Kähler cone of a compact Kähler manifold. Our main result states that the Kähler cone depends only on the intersection form of the cohomology ring, the Hodge structure and the homology classes of analytic cycles: if $X$ is a compact Kähler manifold, the Kähler cone $\cK$ of $X$ is one of the connected components of the set $\cP$ of real $(1,1)$ cohomology classes $\{α\}$ which are numerically positive on analytic cycles, i.e. $\int_Yα^p>0$ for every irreducible analytic set $Y$ in $X$, \hbox{$p=\dim Y$}. This result is new even in the case of projective manifolds, where it can be seen as a generalization of the well-known Nakai-Moishezon criterion, and it also extends previous results by Campana-Peternell and Eyssidieux. The principal technical step is to show that every nef class $\{α\}$ which has positive highest self-intersection number $\int_Xα^n>0$ contains a Kähler current; this is done by using the Calabi-Yau theorem and a mass concentration technique for Monge-Ampère equations. The main result admits a number of variants and corollaries, including a description of the cone of numerically effective $(1,1)$ classes and their dual cone. Another important consequence is the fact that for an arbitrary deformation $\cX o S$ of compact Kähler manifolds, the Kähler cone of a very general fibre $X_t$ is ``independent'' of $t$, i.e.\ invariant by parallel transport under the $(1,1)$-component of the Gauss-Manin connection.

研究动机与目标

• 提供紧致凯勒流形上凯勒锥的精确数值描述。
• 将纳凯-莫伊舍宗准则推广至非代数流形与非整数类。
• 确立凯勒锥仅依赖于交形式、霍奇结构及解析子集的同调类。
• 证明凯勒锥在紧致凯勒流形形变中的平行转移下保持不变。
• 通过数值正性条件刻画 nef 类及其对偶锥。

提出的方法

• 利用卡拉比-丘定理求解具有指定当前质量的蒙日-安培方程。
• 应用质量集中技术，强制在解析子集上具有正勒隆数。
• 通过类 $\alpha$ 的拉回构造 $X \times X$ 上支配对角线的闭正当前。
• 利用德梅尔西（1992）的通用正则化定理对奇异当前进行正则化，得到在某解析集外光滑且具有对数极点的当前。
• 通过高斯-马宁连接的$(1,1)$-分量的平行转移，追踪形变中同调类的变化。
• 应用科达尔-斯宾塞理论，证明凯勒锥在族中的开性，并确立其在形变下的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅通过交理论与霍奇结构，用纯数值方法刻画紧致凯勒流形的凯勒锥？
• RQ2 纳凯-莫伊舍宗准则是否可推广至射影流形上的非整数(1,1)-类？
• RQ3 在何种条件下，一个 nef (1,1)-类包含一个凯勒当前？
• RQ4 凯勒锥在紧致凯勒流形族的平行转移下是否保持不变？
• RQ5 数值有效类锥与当前的对偶锥之间的确切关系为何？

主要发现

• 紧致凯勒流形的凯勒锥恰好是满足对所有维数为 $p$ 的不可约解析子集 $Y \subset X$ 有 $\int_Y \alpha^p > 0$ 的实(1,1)-类 $\{\alpha\}$ 的集合的一个连通分支。
• 对于射影流形，该条件刻画了所有凯勒类，即使 $\{\alpha\}$ 不在内龙-塞弗雷群 $NS_{\mathbb{R}}(X)$ 之外，从而推广了纳凯-莫伊舍宗准则。
• 若一个 nef 类 $\{\alpha\}$ 满足 $\int_X \alpha^n > 0$，则其包含一个凯勒当前，该当前在某解析集外光滑，并在该集合上具有对数极点。
• 数值有效（nef）类的锥与满足对所有 $k$ 及所有维数为 $p$ 的不可约解析子集 $Y$ 有 $\int_Y \alpha^k \wedge \omega^{p-k} \geq 0$ 的类一致，其中 $\omega$ 为任意固定的凯勒度量。
• nef 锥的对偶是 $H^{n-1,n-1}(X,\mathbb{R})$ 中形如 $[Y] \wedge \omega^{p-1}$ 的上同调类生成的闭凸锥。
• 在任意紧致凯勒流形的形变族 $\mathcal{X} \to S$ 中，非常一般纤维的凯勒锥通过高斯-马宁连接的$(1,1)$-分量实现平行转移后保持不变。