[论文解读] Numerical computation and new output bounds for time-limited balanced truncation of discrete-time systems

Igor Pontes Duff, Patrick Kürschner|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 32被引用 5

一句话总结

该论文针对离散时间系统提出了时间有限平衡截断（TLBT）的一种新型误差界，该误差界基于时间有限的ℋ₂范数公式推导得出，并提出了高效的低秩有理Krylov方法以求解大规模时间有限Stein方程。主要贡献在于提出了一种可计算的输出误差界，从而实现自适应模型降阶，表明在有限时间范围内，TLBT相较于标准平衡截断（BT）具有更高的精度，同时保持计算效率。

ABSTRACT

In this paper, balancing based model order reduction (MOR) for large-scale linear discrete-time time-invariant systems in prescribed finite time intervals is studied. The first main topic is the development of error bounds regarding the approximated output vector within the time limits. The influence of different components in the established bounds will be highlighted. After that, the second part of the article proposes strategies that enable an efficient numerical execution of time-limited balanced truncation for large-scale systems. Numerical experiments illustrate the performance of the proposed techniques.

研究动机与目标

• 为离散时间系统中的时间有限平衡截断（TLBT）输出开发可计算的误差界。
• 通过利用被忽略的Hankel奇异值作为误差指示器，实现自适应模型降阶。
• 设计高效的数值算法，以求解TLBT中出现的大规模时间有限Stein方程。
• 从精度和计算成本两个方面，比较TLBT与标准平衡截断的性能。

提出的方法

• 通过矩阵方程引入时间有限的ℋ₂范数，以刻画有限时间区间内的输出误差。
• 基于时间有限的ℋ₂范数推导出新的输出误差界，其表达形式为被忽略的Hankel奇异值之和。
• 应用有理Krylov子空间方法计算时间有限Gramian的低秩因子，从而实现大规模计算。
• 提出移位参数选择策略及基于残差的误差估计方法，以提高降阶模型的精度。
• 使用被忽略的Hankel奇异值之和（σr）作为自适应降阶的停止准则。
• 在大规模基准算例上验证该方法，比较TLBT与标准BT在精度和效率方面的表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为离散时间系统中的时间有限平衡截断推导出可计算的输出误差界？
• RQ2 在有限时间范围内，TLBT与标准平衡截断相比，其输出精度表现如何？
• RQ3 被忽略的Hankel奇异值之和能否作为TLBT中自适应模型降阶的可靠指示器？
• RQ4 在模型降阶背景下，求解大规模时间有限Stein方程的最有效数值方法是什么？

主要发现

• 基于时间有限ℋ₂范数提出的输出误差界能准确预测实际输出误差，在数值实验中表现出紧密的一致性。
• 利用被忽略的Hankel奇异值之和（σr）实现的自适应降阶能有效控制误差在用户定义的容差范围内，其性能与标准BT相当。
• 在时间窗τ内，TLBT始终产生比标准BT更精确的降阶模型，表现为更低的输出误差界和实际误差。
• 采用优化移位参数的有理Krylov方法能高效计算时间有限Stein方程的低秩解，在大规模系统上表现出良好的精度和可扩展性。
• 在相同精度下，TLBT生成的降阶模型阶数低于标准BT，表明在时间有限场景下具有更高的效率。
• 该方法偶尔会产生不稳定降阶模型，提示未来工作需引入稳定化技术，与连续时间TLBT中的发现一致。