[论文解读] Numerical computation of Petersson inner products and $q$-expansions

Dan J. Collins|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 9

一句话总结

本论文提出两种数值算法，通过傅里叶系数的线性插值，计算模形式在任意尖点处的q展开，从而实现通过Nelson公式高效计算Petersson内积。关键贡献在于提出一种实用方法，通过高精度计算内积与L-值，数值验证Ichino的三重积公式，确认了显式情形下的理论常数。

ABSTRACT

In this paper we discuss the problem of numerically computing Petersson inner products of modular forms, given their $q$-expansion at $\infty$. A formula of Nelson reduces this to obtaining $q$-expansions at all cusps, and we describe two algorithms based on linear interpolation for numerically obtaining such expansions. We apply our methods to numerically verify constants arising in an explicit version of Ichino's triple-product formula relating $\langle fg,h angle$ to the central value of $L(f imes g imes \bar{h},s)$, for three modular forms $f,g,h$ of compatible weights and characters.

研究动机与目标

• 开发一种数值方法，仅基于模形式在无穷远尖点处的q展开，计算其在所有尖点处的q展开。
• 通过Nelson公式实现Petersson内积的精确计算，该公式将内积表示为尖点展开系数的和。
• 通过高精度计算内积与L-值，数值验证Ichino三重积公式中显式版本的常数。
• 为大或互素水平的模形式提供一种计算效率更高的替代方法，避免完整模形式空间的计算。
• 通过比较数值计算的内积比值与L-值，验证L-函数恒等式中的理论常数。

提出的方法

• 通过在上半平面上特定点处对f|γ_k的值进行线性插值，重建f|γ_k在无穷远尖点处的q展开，该展开对应于f在γ(∞)尖点处的展开。
• 通过最小二乘拟合，利用在精心选择点处采样变换后的模形式f|γ_k，近似尖点处q展开的系数。
• 实现两种变体：一种适用于一般模形式（算法2.3），另一种利用特征形式结构（算法2.6）以降低计算成本。
• 利用Nelson公式，将Petersson内积表示为尖点和，其中包含每个尖点处q展开的系数与贝塞尔函数项。
• 使用Dokchitser算法计算L-值以进行比较，确保高精度的数值验证。
• 将该方法应用于计算|⟨fg,h⟩|²与L(f×g×h̄,m−1)的比值，并与Ichino公式中的理论常数进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从模形式在无穷远尖点处的q展开，高精度地数值计算其在任意尖点处的q展开？
• RQ2 如何在不涉及完整模形式空间计算的情况下，高效计算Petersson内积？
• RQ3 |⟨fg,h⟩|² / L(f×g×h̄,m−1)的数值结果是否与Ichino公式预测的理论常数一致？
• RQ4 该方法能否可靠处理L-函数中包含超临界表示、主系数表示或非分歧局部成分的情形？
• RQ5 在不同局部表示下，验证Ichino公式时，数值精度与计算成本如何？

主要发现

• 该方法通过线性插值成功计算了所有尖点处的q展开，从而实现了通过Nelson公式对Petersson内积的数值评估。
• 在f为权6、水平4、平凡特征的超临界情形下，g=Δ，h为权18、水平1时，计算得到的比值与理论常数高度一致：≈6.4929462×10⁻²⁵。
• 在两个非分歧表示与一个超临界表示的情形下，计算比值与包含(1+1/p)⁻²和代数因子的理论表达式一致，验证了公式。
• 在两个同构超临界表示与一个非分歧表示的情形下，计算比值与包含α和c=2的理论表达式一致，得到≈2.63747667×10⁻¹⁸。
• 在c=4且Satake参数非平凡的情形下，计算比值与包含(α² + 1 + α⁻² − 1/p)²的理论表达式一致，验证了公式，结果为≈5.23125495×10⁻¹⁸。
• 在多种情形下数值结果的一致性为Ichino公式中理论常数的正确性提供了强有力证据，未发现额外因子或2的幂次。