[论文解读] Numerical instability of the Akhmediev breather and a finite-gap model of it

P. G. Grinevich, P. M. Santini|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 38被引用 4

一句话总结

本文通过分裂步傅里叶方法（SSFM）研究聚焦非线性薛定谔方程中阿赫梅多耶夫孤子的数值不稳定性。当舍入误差可忽略时，数值解可被一个亏格2有限间隙解良好近似，表现出孤波的精确重复。关键发现是SSFM引入了一个与时间步数平方成反比的垂直不稳定间隙，解释了高精度模拟中重复时间和相位稳定性。

ABSTRACT

In this paper we study the numerical instabilities of the NLS Akhmediev breather, the simplest space periodic, one-mode perturbation of the unstable background, limiting our considerations to the simplest case of one unstable mode. In agreement with recent theoretical findings of the authors, in the situation in which the round-off errors are negligible with respect to the perturbations due to the discrete scheme used in the numerical experiments, the split-step Fourier method (SSFM), the numerical output is well-described by a suitable genus 2 finite-gap solution of NLS. This solution can be written in terms of different elementary functions in different time regions and, ultimately, it shows an exact recurrence of rogue waves described, at each appearance, by the Akhmediev breather. We discover a remarkable empirical formula connecting the recurrence time with the number of time steps used in the SSFM and, via our recent theoretical findings, we establish that the SSFM opens up a vertical unstable gap whose length can be computed with high accuracy, and is proportional to the inverse of the square of the number of time steps used in the SSFM. This neat picture essentially changes when the round-off error is sufficiently large. Indeed experiments in standard double precision show serious instabilities in both the periods and phases of the recurrence. In contrast with it, as predicted by the theory, replacing the exact Akhmediev Cauchy datum by its first harmonic approximation, we only slightly modify the numerical output. Let us also remark, that the first rogue wave appearance is completely stable in all experiments and is in perfect agreement with the Akhmediev formula and with the theoretical prediction in terms of the Cauchy data.

研究动机与目标

• 分析在聚焦非线性薛定谔方程中，分裂步傅里叶方法（SSFM）对阿赫梅多耶夫孤子的数值不稳定性影响。
• 研究离散数值格式（特别是SSFM）如何影响不稳定背景的一次模周期扰动中孤波的重复特性。
• 确定舍入误差在标准双精度模拟中对重复周期和相位破坏的作用。
• 测试阿赫梅多耶夫孤子的一阶峰值特性在数值扰动和谐波近似下的鲁棒性。
• 通过将数值输出与亏格2解对比，验证有限间隙理论的理论预测，并推导经验尺度律。

提出的方法

• 使用不同时间步数的分裂步傅里叶方法（SSFM）对聚焦NLS方程进行数值模拟。
• 将使用精确阿赫梅多耶夫孤子作为初始条件的数值输出与使用其一阶谐波近似的输出进行比较。
• 采用高精度（四重）算术以抑制舍入误差，从而隔离由离散格式引起的不稳定性。
• 应用有限间隙理论，将数值不稳定性建模为亏格2解，不同初等函数描述不同时间区域的行为。
• 通过经验方法推导出将SSFM中重复时间与间隙打开程度关联到时间步数的公式。
• 通过减少空间点数进行空间网格敏感性分析，评估离散化效应对重复性和相位的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 当舍入误差可忽略时，分裂步傅里叶方法（SSFM）如何数值逼近阿赫梅多耶夫孤子？
• RQ2 SSFM中时间步数与数值生成的孤波重复时间及相位稳定性之间有何关系？
• RQ3 为何在标准双精度模拟中，尽管阿赫梅多耶夫孤子在解析上是稳定的，却表现出严重的重复周期和相位不稳定性？
• RQ4 用阿赫梅多耶夫初始条件的一阶谐波近似替代精确初始条件，对数值输出的影响有多大？
• RQ5 有限间隙理论（特别是亏格2解）如何描述SSFM中观察到的数值不稳定性？

主要发现

• 当舍入误差可忽略时，SSFM对阿赫梅多耶夫孤子的数值输出可被一个亏格2有限间隙解良好描述，该解表现出孤波的精确重复。
• 一个显著的经验公式将SSFM中的重复时间与间隙打开程度关联到时间步数的平方倒数，间隙长度与 $ N_t^{-2} $ 成正比，其中 $ N_t $ 为时间步数。
• SSFM在谱平面（$ \mathrm{Re}\,E_1 = \mathrm{Re}\,E_2 = 0 $）中引入了一个垂直不稳定间隙，解释了观察到的重复现象而无相位偏移。
• 在标准双精度模拟中，舍入误差占主导地位，导致重复周期和相位出现显著不稳定性，且随时间步数增加而加剧。
• 用阿赫梅多耶夫初始条件的一阶谐波近似替代精确初始条件，对数值输出仅造成可忽略的变化，证实了一阶峰值动力学的鲁棒性。
• 首个孤波出现的时间、位置和振幅在所有模拟设置下均完全稳定，且与阿赫梅多耶夫公式和理论预测完全一致。